Question

Chứng minh rằng hàm số cos(ax).cos(by).cos(cz) là hàm riêng của toán tử Laplace (\(\nabla\)²).

Answer 1

Answer 2

(d/dx²+d/dy²+d/dz²)(cos(ax).cos(by).cos(cz))

= d/dx²(cos(ax).cos(by).cos(cz))+d/dy²(cos(ax).cos(by).cos(cz))+d/dz²(cos(ax).cos(by).cos(cz))

= -a².cos(ax).cos(by).cos(cz) - b².cos(ax).cos(by).cos(cz) - c².cos(ax).cos(by).cos(cz)

= ( -a² - b² - c²).cos(ax).cos(by).cos(cz)

vậy hàm số trên là hàm riêng của toán tử Laplace và có trị riêng là -a² - b² - c²

 

 

 

 

Answer 3

Answer 4

Answer 5

Answer 6

Answer 7

toán tử laplace :\(\frac{d}{dx^2}+\frac{d}{dy^2}+\frac{d}{dz^2}\).ta có:(\(\frac{d}{dx^2}+\frac{d}{dy^2}+\frac{d}{dz^2}\))cosax.cosby.coscz=\(\frac{d}{dx}\)(-asinax.cosbx.coscx)+\(\frac{d}{dy}\)(-bsinbx.cosax.coscx)+\(\frac{d}{dz}\)(-csincx.cosax.cosbx)

=-\(a^2\)cosax.cosbx.coscx-\(b^2\)cosax.cosbx.coscx-\(c^2\)cosax.cosbx.coscx=(-a\(^2\)-b\(^2\)-c\(^2\))cosax.cosbx.coscx

=>hàm cosax.cosbx.coscx là hàm riêng của toán tử laplace.

Answer 8

Answer 9

Ta có( \(\frac{\partial}{\partial x^2}+\frac{\partial}{\partial y^2}+\frac{\partial}{\partial z^2}\))cos ax. cos by. cos cz =(-\(a^2\))cos ax. cos by. cos cz +(-\(b^2\)). cos ax. cos by. cos cz + (-c\(^2\)) cosax. cosby. coscz 

=- (\(a^2+b^2+c^2\)) cos ax. cosby. coscz.

Suy ra cosax. cosby. coscz có là hàm riêng của toán tử laplace với trị riêng là -(\(a^2+b^2+c^2\))