Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=\sqrt{x+y-z}\\b=\sqrt{y+z-x}\\c=\sqrt{z+x-y}\end{matrix}\right.\). Vì x,y,z là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a,b,c luôn có nghĩa.
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=x+y-z\\b^2=y+z-x\\c^2=z+x-y\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{c^2+a^2}{2}\\y=\dfrac{a^2+b^2}{2}\\z=\dfrac{b^2+c^2}{2}\end{matrix}\right.\)
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
\(\dfrac{c^2+a^2}{2a}+\dfrac{a^2+b^2}{2b}+\dfrac{b^2+c^2}{2c}\ge\sqrt{\dfrac{c^2+a^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{b^2+c^2}{2}}\)
Theo BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(\left(\dfrac{c^2+a^2}{2a}+\dfrac{a^2+b^2}{2b}+\dfrac{b^2+c^2}{2c}\right)\left(a+b+c\right)\ge\left(\sqrt{\dfrac{c^2+a^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{b^2+c^2}{2}}\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{c^2+a^2}{2a}+\dfrac{a^2+b^2}{2b}+\dfrac{b^2+c^2}{2c}\ge\dfrac{\left(\sqrt{\dfrac{c^2+a^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{b^2+c^2}{2}}\right)^2}{a+b+c}\)Ta chỉ cần chứng minh BĐT sau là bài toán đc giải quyết:
\(\dfrac{\left(\sqrt{\dfrac{c^2+a^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{b^2+c^2}{2}}\right)^2}{a+b+c}\ge\sqrt{\dfrac{c^2+a^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{b^2+c^2}{2}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{c^2+a^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{b^2+c^2}{2}}\ge a+b+c\left(1\right)\)
Ta có BĐT: \(a^2+b^2\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\ge\dfrac{a+b}{2}\)
Tương tự: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{\dfrac{b^2+c^2}{2}}\ge\dfrac{b+c}{2}\\\sqrt{\dfrac{c^2+a^2}{2}}\ge\dfrac{c+a}{2}\end{matrix}\right.\)
Cộng vế theo vế của các BĐT trên ta có BĐT (1) đúng.
\(\Rightarrowđpcm\). Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
