Question

Cho x,y > 0 thỏa mãn x+y=1 Tìm GTNN của P=\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{4}{xy}\)

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy})(x^2+y^2+2xy)\geq (1+1+2)^2=16$

$\Rightarrow \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy}\geq \frac{16}{(x+y)^2}=16$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow \frac{2}{xy}\geq 8$

Cộng 2 BĐT trên lại:

$P\geq 16+8=24$

Vậy $P_{\min}=24$ khi $x=y=\frac{1}{2}$

Answer 2

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy})(x^2+y^2+2xy)\geq (1+1+2)^2=16$

$\Rightarrow \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy}\geq \frac{16}{(x+y)^2}=16$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow \frac{2}{xy}\geq 8$

Cộng 2 BĐT trên lại:

$P\geq 16+8=24$

Vậy $P_{\min}=24$ khi $x=y=\frac{1}{2}$

Answer 3

*cách này đơn giản hơn

Vì x,y>0. theo AM-GM:

\(\dfrac{1}{x^2}\)+\(\dfrac{1}{y^2}\) ≥\(\dfrac{2}{xy}\) => P≥\(\dfrac{6}{xy}\)

ta có: \(x^2\)+\(y^2\)≥ 2xy <=> (x+y)\(^2\)≥4xy <=> xy≤\(\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\)=\(\dfrac{1}{4}\)

<=> \(\dfrac{6}{xy}\)≥\(\)24 hay P≥24

dấu = xảy ra khi: x=y=\(\dfrac{1}{2}\)