Question

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=6m, AC=8cm. Vẽ AH vuông góc BC tại H.
a, Tính AH,HB,HC
b, Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Gọi O là giao điểm của AH và EF. Chứng minh 4 điểm A,E,F,H cùng thuộc một đường tròn.
c, Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh \(S_{AEMF}=\dfrac{1}{2}S_{ABC}\)

Answer 1

Sửa đề: AB=6cm

c: AEHF là hình chữ nhật

=>\(\widehat{AFE}=\widehat{AHE}\)

mà \(\widehat{AHE}=\widehat{ABC}\left(=90^0-\widehat{HAB}\right)\)

nên \(\widehat{AFE}=\widehat{ABC}\)

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MC

=>ΔMAC cân tại M

=>\(\widehat{MAC}=\widehat{MCA}=\widehat{ACB}\)

\(\widehat{MAC}+\widehat{AFE}=\widehat{ACB}+\widehat{ABC}=90^0\)

=>FE\(\perp\)AM

=>\(S_{AEMF}=\dfrac{1}{2}\cdot FE\cdot AM=\dfrac{1}{2}\cdot AH\cdot AM=\dfrac{1}{2}\cdot AH\cdot\dfrac{1}{2}BC\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot AH\cdot BC=\dfrac{1}{2}\cdot S_{ABC}\)

a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=6^2+8^2=100=10^2\)

=>\(BC=\sqrt{10}=10\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot10=6\cdot8=48\)

=>\(AH=\dfrac{48}{10}=4,8\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}BH\cdot BC=BA^2\\CH\cdot CB=CA^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{6^2}{10}=3,6\left(cm\right)\\CH=\dfrac{8^2}{10}=6,4\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

b: Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=\widehat{FAE}=90^0\)

nên AEHF là hình chữ nhật

=>A,E,H,F cùng thuộc một đường tròn