- Xét tam giác ABC vuông cân tại A có:
AO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC (O là trung điểm BC)
=>AO=BO=CO=\(\dfrac{1}{2}\)BC ; AO⊥BC tại O.
- Ta có: \(\widehat{EAF}=\widehat{AEM}=\widehat{AFM}=90^0\) nên AEMF là hình chữ nhật.
=> AE=MF ; AB//MF
- Ta có: \(\widehat{ABC}=\widehat{FMC}=45^0\) (AB//MF, tam giác ABC vuông cân tại A).
Mà tam giác MFC vuông tại F (MF⊥AC tại F) nên tam giác MFC vuông cân tại F.
=>MF=CF=AE.
- Ta có: Tam giác AOB vuông tại O (AO⊥BC tại O) mà AO=BO (cmt) nên tam giác AOB vuông cân tại O.
- Xét tam giác OAE và tam giác OCF có:
OA=OC (cmt)
\(\widehat{OCF}=\widehat{OAE}=45^0\) (tam giác ABC vuông cân tại A, tam giác AOB vuông cân tại O).
AE=CF (cmt)
=>Tam giác OAE= Tam giác OCF (c-g-c)
=> OE=OF (2 cạnh tương ứng).
\(\widehat{AOE}=\widehat{COF}\) (2 góc tương ứng) mà \(\widehat{COF}+\widehat{AOF}=90^0\) (AO⊥BC tại O).
nên \(\widehat{AOE}+\widehat{AOF}=90^0\) =>\(\widehat{EOF}=90^0\) =>Tam giác OEF vuông tại O mà OE=OF (cmt) nên tam giác OEF vuông cân tại O.
