Question

Cho số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện: \(a^2+b^2+c^2=3\) và \(a+b+c+ab+bc+ca=6\)

Tính giả trị biểu thức \(A=\dfrac{a^{30}+b^4+c^{1975}}{a^{30}+b^4+c^{2014}}\)

Answer 1

Ta có:

\(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

Thiết lập 2 BĐT tương tự ta có:

\(b^2+c^2\ge2bc;c^2+a^2\ge2ca\)

Và \(\left(a-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2a+1\Leftrightarrow a^2+1\ge2a\)

Và tương tự \(b^2+1\ge2b;c^2+1\ge2c\)

Cộng theo vế các BĐT trên ta có:

\(2ab+2bc+2ca+2a+2b+2c\le3a^2+3b^2+3c^2+3\)

\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)\le3\left(a^2+b^2+c^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)\le12\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca+a+b+c\le6\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Khi đó \(A=\dfrac{a^{30}+b^4+c^{1975}}{a^{30}+b^4+c^{2014}}=\dfrac{1+1+1}{1+1+1}=1\)