Bài 1: Nhân đơn thức với đa thức

Nội dung lý thuyết

Các phiên bản khác

1. Quy tắc

Ở lớp 7, ta đã học các khái niệm đơn thức, đa thức và các phép tính cộng, trừ giữa chúng. Nối tiếp các phần kiến thức đó, trong chương trình lớp 8, ta mở đầu bằng phép nhân một đơn thức với một đa thức.

Quy tắc: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích vừa thu được với nhau.

\(A\left(B+C-D\right)=AB+AC-AD\)

Nhận xét: Quy tắc nhân đơn thức với đa thức tương tự như quy tắc nhân một số với một tổng hoặc một hiệu.

Ví dụ: Để nhân đơn thức \(5x^2\) với đa thức \(-2x^3+4x-1\), ta nhân \(5x^2\) với từng hạng tử \(-2x^3;4x;-1\), rồi cộng các kết quả lại với nhau. Cụ thể:

\(5x^2\left(-2x^3+4x-1\right)=5x^2.\left(-2x^3\right)+5x^2.4x+5x^2.\left(-1\right)\\ =-10x^5+20x^3-5x^2\)

Như vậy, kết quả của phép nhân đơn thức với đa thức trên là đa thức \(-10x^5+20x^3-5x^2\).

Nhắc lại: Một số quy tắc biến đổi lũy thừa:

\(a^0=1;\\ a^m.a^n=a^{m+n};\\ a^m:a^n=a^{m-n};\\ \left(a^m\right)^n=a^{m.n}.\)

2. Áp dụng

Ngoài nhân đơn thức với đa thức một biến, ta hoàn toàn có thể áp dụng quy tắc trên cho đơn thức nhiều biến và đa thức nhiều biến. 

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính

a) \(-3x^2\left(4x^3+\dfrac{2}{3}x^2-3\right)\);

b) \(x^2y\left(2xy^3-x^2y^2+x-y\right)\).

Lời giải:

a) \(-3x^2\left(4x^3+\dfrac{2}{3}x^2-3\right)\)

\(=-3x^2.4x^3+\left(-3x^2\right).\dfrac{2}{3}x^2+\left(-3x^2\right).\left(-3\right)\)

\(=-12x^5-2x^4+9x^2.\)

b) \(x^2y\left(2xy^3-x^2y^2+x-y\right)\)

\(=x^2y.2xy^3-x^2y.x^2y^2+x^2y.x-x^2y.y\)

\(=2\left(x^2x\right)\left(yy^3\right)-\left(x^2x^2\right)\left(yy^2\right)+\left(x^2x\right)y-x^2\left(yy\right)\)

\(=2x^3y^4-x^4y^3+x^3y-x^2y^2.\)

@54598@@54600@

Ta có thể áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức để thực hiện các bài toán tìm \(x\).

Ví dụ 2: Tìm \(x\) biết: \(x\left(2x^2+x-2\right)-2x^3-x\left(x+3\right)-1=4\).

Lời giải:

\(x\left(2x^2+x-2\right)-2x^3-x\left(x+3\right)-1=4\)

\(\Leftrightarrow2x^3+x^2-2x-2x^3-x^2-3x-1=4\)

\(\Leftrightarrow\left(2x^3-2x^3\right)+\left(x^2-x^2\right)-\left(2x+3x\right)=4+1\)

\(\Leftrightarrow-5x=5\Leftrightarrow x=1.\)

Vậy \(x=1\) là giá trị cần tìm.

@429288@

Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức \(P=2x^3y\left(xy-3y^2\right)+xy\left(2x^2+1\right)\) tại \(x=1;y=-1\)?

Ta có 2 cách làm: 

Cách 1: Thay trực tiếp \(x=1;y=-1\) vào biểu thức \(P\) rồi tính toán. Đây là cách làm ta đã được học ở lớp dưới.

Cách 2: Dùng quy tắc nhân đơn thức với đa thức để thu gọn biểu thức \(P\), sau đó mới thay \(x=1;y=-1\) vào biểu thức đã thu gọn. Cách này phù hợp hơn với những biểu thức dài, nếu thay trực tiếp sẽ dễ nhầm lẫn.

Cụ thể, cách 2 như trên được thực hiện như sau:

\(P=2x^3y\left(xy-3y^2\right)+xy\left(2x^2+1\right)\)

\(=2x^3y.xy-2x^3y.3y^2+xy.2x^2+xy\)

\(=2x^4y^2-6x^3y^3+2x^3y+xy\).

Thay \(x=1;y=-1\) vào biểu thức trên ta được:

\(P=2.1^4.\left(-1\right)^2-6.1^3.\left(-1\right)^3+2.1^3.\left(-1\right)+1.\left(-1\right)\)

\(=2+6-2-1=5\).

@428784@

 


Khoá học trên OLM (olm.vn)


Khoá học trên OLM (olm.vn)