cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, \(\widehat{BAD}\) =600,SO⊥(ABCD), SB=SD=\(\frac{a\sqrt{13}}{4}\).Gọi E là trung điểm BC , F là trung điểm BE.
a) chứng minh : BC⊥(SOF).
b) Gọi (α) là mặt phẳng qua AD và vuông góc (SBC). Xác định thiết diện của hình chóp bị cắt bởi (α) . Tính góc giữa (α) và ( ABCD)
\(\widehat{BAD}=60^0\Rightarrow\) các tam giác ABD và BCD là tam giác đều cạnh a
\(\Rightarrow DE\perp BC\) mà OF là đường trung bình tam giác BDE
\(\Rightarrow OF//DE\Rightarrow OF\perp BC\) (1)
\(SO\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SO\perp BC\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow BC\perp\left(SOF\right)\)
Kéo dài FO cắt AD tại P \(\Rightarrow DP=\frac{1}{4}AD\)
Trong mặt phẳng (SFP), từ O kẻ \(OH\perp SF\Rightarrow OH\perp\left(SBC\right)\)
Từ P kẻ \(PK//OH\Rightarrow PK\perp\left(SBC\right)\)
Trong mặt phẳng (SBC), qua K kẻ đường thẳng song song BC lần lượt cắt SB; SC tại N và M \(\Rightarrow ADMN\) là thiết diện của \(\left(\alpha\right)\) và chóp
Ta có \(AD//BC\Rightarrow AD\perp\left(SFP\right)\Rightarrow\left(SFP\right)\perp\left(ADMN\right)\)
\(SO\in\left(SFP\right)\Rightarrow\left(SFP\right)\perp\left(ABCD\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{FPK}\) là góc giữa \(\left(\alpha\right)\) và (ABCD)
\(BD=a\Rightarrow OB=\frac{a}{2}\Rightarrow SO=\sqrt{SB^2-OB^2}=\frac{3a}{4}\)
\(OF=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}\Rightarrow FP=2OF=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OF^2}+\frac{1}{SO^2}\Rightarrow OH=\frac{SO.OF}{\sqrt{SO^2+OF^2}}=\frac{3a}{8}\)
OH là đường trung bình tam giác FPK \(\Rightarrow PK=2OH=\frac{3a}{4}\)
\(cos\widehat{FPK}=\frac{PK}{FP}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\widehat{FPK}=30^0\)
