Ai giúp mình giải 10 bài này với. Mình cảm ơn m.n rất nhiều (Giải chi tiết dễ hiểu , vì đây là bài tự luận )
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d biết d vuông góc với đường thẳng △: \(2x-y+1=0\)và cắt đường tròn (C): \(x^2+y^2+2x-4y-4=0\) theo một dây cung có độ dài bằng 6.
Bài 2: Giải phương trình: \(x+4-\sqrt{14x-1}=\frac{\sqrt{10x-9-1}}{x}\)
Bài 3:
a) Cho\(sinx=\frac{3}{5}\left(\frac{\pi}{2}< x< \pi\right)\). Tính \(sin2x\), \(cotx\),\(tan\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\)
b)Chứng minh rằng: \(sin^6x+cox^6x=\frac{5}{8}+\frac{3}{8}cos4x\)
c)Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thòa mãn hệ thức:
\(sinA+sinB+sinC=sin2A+sin2B+sin2C\)
Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.
Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm M(1;3), N(-1;2) và đường thẳng d: \(3x-4y-6=0\)
a)Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm M, N.
b)Viết phường trình đường tròn tâm M và tiếp xúc với đường thằng d
c)Cho đường tròn(C) có phương trình: \(x^2+y^2-6x-4y-3=0\) .Viết phương trình đường thẳng d' qua M cắt đường tròn (C) tại hai điểm AB có độ dài nhỏ nhất.
Bài 5: Rút gọn biểu thức \(A=\frac{sinx+sin2x+sin3x}{cosx+cos2+cos3x}\)
Bài 6:Trong mặt phương với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại C, phương trình đường thẳng chứa cạnh AB là \(x+y-2=0\) .Biết tam giác ABC có trọng tâm \(G\left(\frac{14}{3};\frac{5}{3}\right)\)và diện tích bằng \(\frac{65}{2}\). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 7: Cho biểu thức \(A=\frac{cos2\alpha-cos4\text{α}}{sin4\text{α}-sin2\text{α}}+\frac{cos\text{α}-cos5\text{α}}{sin5\text{α}-sin\text{α}}\), \(a\ne k\frac{\pi}{2};a\ne\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{3}\).Rút gọn biểu thức A. Từ đó tìm các giá trị của α để A=2
Bài 8:Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(1;0) và đường tròn (C):\(x^2+y^2-2x+4y-5=0\).
a)Xét vị trí của điểm A đối với đường tròn (C)
b)Gọi d là đường thẳng cắt đường tròn (C) tại hai điễm B, C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A, viết phường trình đường thẳng d.
Bài 9: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(7;2), B(0;-4), C(3;0).
a)Viết phương trình đường thẳng BC.
b)Viết phường trình đường tròn (T) tâm A và tiếp xúc với BC.
c)Tìm điềm M trên đường tròn (T) sao cho \(MB^2-MC^2=53\)
Bài 10: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có diện tích bằng \(\sqrt{3}\). Chứng minh rằng
\(\frac{a^4+b^4}{a^6+b^6}+\frac{b^4+c^4}{b^6+c^6}+\frac{c^4+a^4}{c^6+c^4}\le\frac{3}{4}\)
Giải câu 10 trước:
Trước hết ta có đánh giá sau với các số dương: \(\frac{x^4+y^4}{x^6+y^6}\le\frac{2}{x^2+y^2}\)
Thật vậy, BĐT trên tương đương:
\(\left(x^4+y^4\right)\left(x^2+y^2\right)\le2\left(x^6+y^6\right)\)
\(\Leftrightarrow x^6-x^4y^2+y^6-x^2y^4\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^4\left(x^2-y^2\right)-y^4\left(x^2-y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-y^2\right)^2\left(x^2+y^2\right)\ge0\) (luôn đúng)
Đặt vế trái của biểu thức là A, áp dụng kết quả trên, ta có:
\(A\le\frac{2}{a^2+b^2}+\frac{2}{b^2+c^2}+\frac{2}{c^2+a^2}\le\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\) (1)
Theo công thức Hê-rông:
\(\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\frac{a+b+c}{2}\right)\left(\frac{a+b-c}{2}\right)\left(\frac{a+c-b}{2}\right)\left(\frac{b+c-a}{2}\right)}=\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)=48\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}b+c-a=x\\a+c-b=y\\a+b-c=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{y+z}{2}\\b=\frac{z+x}{2}\\c=\frac{x+y}{2}\end{matrix}\right.\) (2)
\(\Rightarrow xyz\left(x+y+z\right)=48\)
Mà \(\left(xy+yz+zx\right)^2\ge3xyz\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow\left(xy+yz+zx\right)^2\ge144\Rightarrow xy+yz+zx\ge12\)
Thế (2) vào (1) \(\Rightarrow A\le\frac{4}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{4}{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}+\frac{4}{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}\)
\(\Rightarrow A\le\frac{8\left(x+y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\le\frac{8\left(x+y+z\right)}{\frac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{9}{xy+yz+zx}\le\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\) hay \(a=b=c\)
Câu 9:
\(\overrightarrow{BC}=\left(3;4\right)\Rightarrow\) đường thẳng BC nhận \(\left(4;-3\right)\) là 1 vtpt
Phương trình BC:
\(4\left(x-0\right)-3\left(y+4\right)=0\Leftrightarrow4x-3y-12=0\)
b/ (T) tiếp xúc BC khi và chỉ khi \(R=d\left(A;BC\right)\)
\(\Leftrightarrow R=\frac{\left|7.4-2.3-12\right|}{\sqrt{4^2+\left(-3\right)^2}}=2\)
Phương trình (T): \(\left(x-7\right)^2+\left(y-2\right)^2=4\)
c/ Đặt \(M\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{BM}=\left(x;y+4\right)\\\overrightarrow{CM}=\left(x-3;y\right)\end{matrix}\right.\)
\(MB^2-MC^2=53\Leftrightarrow x^2+\left(y+4\right)^2-\left(x-3\right)^2+y^2=53\)
\(\Leftrightarrow3x+4y-23=0\) \(\Rightarrow y=\frac{23-3x}{4}\)
Thế vào pt đường tròn:
\(\left(x-7\right)^2+\left(\frac{23-3x}{4}-2\right)^2=4\)
\(\Leftrightarrow25x^2-313x+945=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=\frac{189}{25}\end{matrix}\right.\)
Có 2 điểm M thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}M\left(5;2\right)\\M\left(\frac{189}{25};\frac{2}{25}\right)\end{matrix}\right.\)
Câu 8:
Đường tròn (C) tâm \(I\left(1;-2\right)\) bán kính \(R=\sqrt{10}\)
\(\overrightarrow{AI}=\left(0;-2\right)\Rightarrow IA=\sqrt{0+\left(-2\right)^2}=2< R\)
\(\Rightarrow A\) nằm phía trong đường tròn
b/ Gọi \(x\) là độ dài đại số của khoảng cách từ O đến đường thẳng BC, H là trung điểm BC \(\Rightarrow\left|x\right|=IH\)
ABC cân vuông tại A \(\Rightarrow AI\perp BC\) \(\Rightarrow A;I;H\) thẳng hàng; \(AH=\frac{1}{2}BC\)
Pitago tam giác IAH:
\(x^2=R^2-\left(\frac{BC}{2}\right)^2=10-AH^2=10-\left(AI+x\right)^2=10-\left(2+x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2=10-x^2-4x-4\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow d\left(I;BC\right)=\frac{3}{2}\) (với đường thẳng BC nằm khác phía I so với A)
BC vuông góc AI nên nhận \(\left(0;1\right)\) là 1 vtpt
Phương trình BC có dạng: \(y+a=0\)
\(d\left(I;BC\right)=\frac{3}{2}\Leftrightarrow\left|-2+a\right|=\frac{3}{2}\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=\frac{7}{2}\\a=\frac{1}{2}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
Phương trình BC (hay d) : \(y+\frac{7}{2}=0\)
Câu 7:
\(A=\frac{2sin3a.sina}{2cos3a.sina}+\frac{2sin3a.sin2a}{2cos3a.sin2a}=\frac{sin3a}{cos3a}+\frac{sin3a}{cos3a}=2tan3a\)
\(A=2\Leftrightarrow tan3a=1\Rightarrow3a=\frac{\pi}{4}+k\pi\Rightarrow a=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{3}\)
Câu 6:
Gọi D là trung điểm AB \(\Rightarrow CD\perp AB\) và G thuộc CD
\(\Rightarrow GD\perp AB\Rightarrow GD=d\left(G;AB\right)=\frac{\left|\frac{14}{3}+\frac{5}{3}-2\right|}{\sqrt{2}}=\frac{13\sqrt{2}}{6}\)
Theo tính chất trọng tâm: \(GD=\frac{1}{3}CD\Rightarrow CD=\frac{13\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow AB=\frac{2S}{CD}=5\sqrt{2}\)
\(CD\perp AB\Rightarrow\) đường thẳng CD nhận \(\left(1;-1\right)\) là 1 vtpt
Pt CD (qua G) có dạng:
\(1\left(x-\frac{14}{3}\right)-1\left(y-\frac{5}{3}\right)=0\Leftrightarrow x-y-3=0\)
D là giao điểm CD và AB nên tọa độ: \(\left\{{}\begin{matrix}x-y-3=0\\x+y-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(\frac{5}{2};-\frac{1}{2}\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{GD}=\left(-\frac{13}{6};-\frac{13}{6}\right)\) mà \(\overrightarrow{CD}=3\overrightarrow{GD}\Rightarrow C\left(9;6\right)\)
\(AB=5\sqrt{2}\Rightarrow A;B\) thuộc đường tròn tâm D bán kính \(R=\frac{AB}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\) có pt:
\(\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\left(y+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{25}{2}\)
Tọa độ A; B là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\left(y+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{25}{2}\\x+y-2=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y-2=0\\x^2-5x=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\left(0;2\right)\\B\left(5;-3\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AC}\Rightarrow\) pt trung trực AC \(\Rightarrow\) tâm I đường tròn ngoại tiếp \(\Rightarrow\)...
Bài 5:
\(A=\frac{sinx+sin3x+sin2x}{cosx+cos3x+cos2x}=\frac{2sin2x.cosx+sin2x}{2cos2x.cosx+cos2x}=\frac{sin2x\left(2cosx+1\right)}{cos2x\left(2cosx+1\right)}=\frac{sin2x}{cos2x}=tan2x\)
Bài 4:
\(\overrightarrow{NM}=\left(2;1\right)\Rightarrow\) đường thẳng MN nhận \(\left(1;-2\right)\) là 1 vtpt
Phương trình MN:
\(1\left(x-1\right)-2\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow x-2y+5=0\)
Đường tròn (T) tâm M tiếp xúc d \(\Leftrightarrow R=d\left(M;d\right)=\frac{\left|3-4.3-6\right|}{\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}}=3\)
Phương trình (T): \(\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2=9\)
Đường tròn (C) có tâm \(I\left(3;2\right)\) bán kính \(R_1=4\)
\(\overrightarrow{MI}=\left(2;-1\right)\Rightarrow IM=\sqrt{5}< R\Rightarrow\) M nằm phía trong (C)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên \(d'\)
Pitago: \(IH^2+\left(\frac{AB}{2}\right)^2=R_1^2\Rightarrow AB=2\sqrt{16-IH^2}\)
\(\Rightarrow AB_{min}\) khi \(IH_{max}\)
Trong tam giác vuông \(IHM\) ta luôn có \(IH\le IM\)
\(\Rightarrow IH_{max}=IM\) khi H trùng M hay \(d'\perp IM\)
\(\Rightarrow d'\) nhận \(\left(2;-1\right)\) là 1 vtpt và đi qua M
Phương trình d': \(2\left(x-1\right)-1\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow2x-y+1=0\)
Câu 3:
\(\frac{\pi}{2}< x< \pi\Rightarrow cosx< 0\Rightarrow cosx=-\sqrt{1-sin^2x}=-\frac{4}{5}\)
\(sin2x=2sinx.cosx=2.\frac{3}{5}.\left(-\frac{4}{5}\right)=...\)
\(cotx=\frac{cosx}{sinx}=...\)
\(tan\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{tanx-tan\frac{\pi}{4}}{1+tanx.tan\frac{\pi}{4}}=\frac{\frac{sinx}{cosx}-1}{1+\frac{sinx}{cosx}}=...\)
b/
\(sin^6x+cos^6x=\left(sin^2x+cos^2x\right)^3-3sin^2x.cos^2x\left(sin^2x+cos^2x\right)\)
\(=1-3sin^2x.cos^2x=1-\frac{3}{4}sin^22x\)
\(=1-\frac{3}{4}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos4x\right)=\frac{5}{8}+\frac{3}{8}cos4x\)
c/
\(sin2A+sin2B=2sin\left(A+B\right)cos\left(A-B\right)=2sinC.cos\left(A-B\right)\)
Mà \(cos\left(A-B\right)\le1\Rightarrow sinC.cos\left(A-B\right)\le sinC\)
\(\Rightarrow sin2A+sin2B\le2sinC\)
Tương tự:
\(sin2A+sin2C=2sinB.cos\left(A-C\right)\le2sinB\)
\(sin2B+sin2C=2sinA.cos\left(B-C\right)\le2sinA\)
Cộng vế với vế:
\(sin2A+sin2B+sin2C\le sinA+sinB+sinC\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
\(cos\left(A-B\right)=cos\left(B-C\right)=cos\left(A-C\right)=1\)
\(\Leftrightarrow A-B=B-C=A-C=0\)
\(\Leftrightarrow A=B=C\) hay tam giác ABC đều
Câu 2:
Bạn tham khảo ở đây:
Câu hỏi của Linh Chi - Toán lớp 10 | Học trực tuyến
Câu 1:
Đường tròn (C) tâm \(I\left(-1;2\right)\) bán kính \(R=3\)
\(\Rightarrow\) Đường kính đường tròn bằng 6
Do d cắt đường tròn theo dây cung có độ dài bằng 6 \(\Leftrightarrow\) d đi qua tâm I
Mà d vuông góc \(\Delta\) nên d nhận \(\left(1;2\right)\) là 1 vtpt
Phương trình d:
\(1\left(x+1\right)+2\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow x+2y-3=0\)
