TH1: m=1. Khi đó \(f\left(x\right)=-2x^2+1\).
Dễ thấy f đồng biến trên (0;3) , nên \(max_{\left[0;3\right]}f\left(x\right)=f\left(3\right)\ne f\left(2\right)\left(loại\right)\)
TH2: \(m\ne1\). Đặt \(t=x^2\left(t\ge0\right)\)
Xét \(g\left(t\right)=\left(m-1\right)t^2-2mt+1\).trên [0,+∞). \(\Delta=4\left(m^2-m+1\right)\)
Ta có \(min_{\left[0;9\right]}g\left(t\right)=g\left(4\right)=8m-15\) và ta cần tìm \(max_{\left[0;9\right]}g\left(t\right)\)
\(f\left(2\right)=g\left(4\right)=8m-15\).
+)Nếu m>1. Khi đó: \(-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{m}{m-1}>0\). Do đó g nghịch biến trên (0,\(\dfrac{m}{m-1}\)) và đồng biến trên (\(\dfrac{m}{m-1}\),+∞).
*Với \(0< \dfrac{m}{m-1}< 9\). Khi đó:\(min_{\left[0;9\right]}g\left(t\right)=g\left(\dfrac{m}{m-1}\right)=\dfrac{-\Delta}{4a}=\dfrac{m-1-m^2}{m-1}=8m-15\)
\(\Leftrightarrow m=\dfrac{4}{3}\left(nhận\right)\). Vậy \(max_{\left[0;3\right]}f\left(x\right)=max_{\left[0;9\right]}g\left(t\right)=max\left\{g\left(0\right),g\left(9\right)\right\}=max\left\{1;4\right\}=4\)
*Với \(\dfrac{m}{m-1}\ge9\). Khi đó \(min_{\left[0;9\right]}g\left(t\right)=g\left(9\right)=63m-80=8m-15\Leftrightarrow m=\dfrac{13}{11}\left(loại\right)\)
+)Nếu 0<m<1. Khi đó \(\dfrac{m}{m-1}< 0\). Do đó g đồng biến trên (0;+∞).
Vậy \(min_{\left[0;9\right]}g\left(t\right)=g\left(0\right)=1=8m-15\Leftrightarrow m=2\left(loại\right)\)
+Nếu m<0. Khi đó \(\dfrac{m}{m-1}>0\) và \(m-1< 0\) . Do đó g đồng biến trên (0;\(\dfrac{m}{m-1}\)) và nghịch biến trên (\(\dfrac{m}{m-1}\),+∞).
Để ý \(\dfrac{m}{m-1}< 9\) Khi đó:\(min_{\left[0;9\right]}g\left(t\right)=min\left\{g\left(0\right),g\left(9\right)\right\}=min\left\{1,63m-80\right\}=63m-80=8m-15\Leftrightarrow m=\dfrac{13}{11}\left(loại\right)\)
Kết luận:....
