Gọi \(M\left(m;0\right)\) với \(m\in\left[0;a\right]\) \(\Rightarrow AM=a-m\)
\(N\left(0;n\right)\Rightarrow ON=n\) \(\Rightarrow a-m=n\Rightarrow m+n=a\)
Phương trình trung trực MN đi qua \(\left(\frac{m}{2};\frac{a-m}{2}\right)\) và nhận \(\overrightarrow{NM}=\left(m;-n\right)=\left(m;m-a\right)\) là vtpt có dạng:
\(m\left(x-\frac{m}{2}\right)+\left(m-a\right)\left(y-\frac{a-m}{2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow mx-\frac{m^2}{2}+my-\frac{am-m^2}{2}-ay+\frac{a^2-am}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow mx+my-ay-am+\frac{a^2}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow m\left(x+y-a\right)+\left(-ay+\frac{a^2}{2}\right)=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y-a=0\\-ay+\frac{a^2}{2}=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{a}{2}\\y=\frac{a}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) Đường trung trực của MN luôn đi qua điểm cố định \(I\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2}\right)\)
\(\Rightarrow2x-y=\frac{a}{2}\)
