Question

Cho ΔABC có hai trung tuyến kẻ từ A và B vuông góc với nhau. Khi đó giá trị lớn nhất của \(S=\dfrac{AC+BC}{AB}\) là

A. 3,2

B. 3, 17

C. 3,16

D. 3,15

Answer 1

Đặt \(\left(BC;CA;AB\right)=\left(a;b;c\right)\)

Kẻ hai trung tuyến AM, CN cắt nhau tại G

\(AG^2=\dfrac{4}{9}AM^2=\dfrac{1}{9}\left(2b^2+2c^2-a^2\right)\)

\(BG^2=\dfrac{4}{9}BN^2=\dfrac{1}{9}\left(2a^2+2c^2-b^2\right)\)

Pitago tam giác vuông ABG:

\(AG^2+BG^2=AB^2\Leftrightarrow\dfrac{1}{9}\left(2b^2+2c^2-a^2+2a^2+2c^2-b^2\right)=c^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2=5c^2\Leftrightarrow5=\dfrac{a^2+b^2}{c^2}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2c^2}\)

\(\Rightarrow S=\dfrac{a+b}{c}\le\sqrt{10}\)