Question

1. Cho tam giác ABC nội tiếp đg tròn bán kính bằng 3 , biết góc A =30° , góc B=45°. Tính độ dài đg trung tuyến từ A và bán kính đg tròn nội tiếp tam giác.

2. Cho tam giác ABC có M là trung điểm BC. Biết AB =3 , BC=8 , Cos góc AMB = 5√13 / 26

Tính độ dài cạnh AC và góc lớn nhất của tg ABC

Answer 1

1) R=3

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{A}=30^o\\\widehat{B}=45^o\end{matrix}\right.\rightarrow\widehat{C}=105^o\)

Theo đl sin ta có : \(\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}=\frac{AB}{sinC}=2R\)\(\Leftrightarrow\frac{BC}{sin30^o}=\frac{AC}{sin45^o}=\frac{AB}{sin105^o}=2.3=6\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}BC=3\\AC=4,2\\AB=5,8\end{matrix}\right.\)

Độ dài đường trung tuyến từ A là :

\(m_a=\sqrt{\frac{2\left(AC^2+AB^2\right)-BC^2}{4}}\approx4,8\)

\(S=\frac{AB.AC.BC}{4R}=\frac{5,8.4,2.3}{4}=6,09\)

\(p=\frac{AB+AC+BC}{2}=6,5\)

Ta có : S = pr => Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là: \(r=\frac{S}{p}=\frac{6,09}{6,5}\approx1\)

Answer 2

2)

AB=3; BC =8; \(cos\widehat{AMB}=\frac{5\sqrt{13}}{26}\)

M là trung điểm BC => BM=CM = 4

Áp dụng hệ quả của đl cosin trong tam giác AMB có :

\(cos\widehat{AMB}=\frac{BM^2+AM^2-AB^2}{2.BM.AM}=\frac{4^2+AM^2-3^2}{2.4.AM}=\frac{5\sqrt{13}}{26}\)

=> AM = 3,6

Lại có : \(AM=\sqrt{\frac{2.\left(AC^2+AB^2\right)-BC^2}{4}}=\sqrt{\frac{2\left(AC^2+3^2\right)-8^2}{4}}=3,6\)

=> AC = 7

Trong tam giác góc lớn hơn thì đối diện với cạnh lớn hơn và ngược lại

=> A là góc lớn nhất

\(cosA=\frac{AC^2+AB^2-BC^2}{2.AC.AB}=\frac{7^2+3^3-8^2}{2.7.3}=\frac{-1}{7}\)

\(\Rightarrow\widehat{A}\approx98^o\)