Do \(x>y>z>0\), nên ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y\ge2\sqrt{xy}\\y+z\ge2\sqrt{yz}\\x+z\ge2\sqrt{xz}\end{matrix}\right.\) (bất đẳng thức Cô-si)
Cộng ba bất đẳng thức theo từng vế, ta được:
\(x+y+y+z+x+z\ge2\sqrt{xy}+2\sqrt{yz}+2\sqrt{xz}\)
\(\Leftrightarrow2\left(x+y+z\right)\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\right)\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\) (điều phải chứng minh).
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm, ta có:
$x+y\geq 2\sqrt{xy}$
$y+z\geq 2\sqrt{yz}$
$z+x\geq 2\sqrt{zx}$
$\Rightarrow x+y+y+z+z+x\geq 2(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})$
$\Rightarrow x+y+z\geq \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$
