ta có: a+b=1 => (a+b)2=1
a2+2ab+b2=1 (1)
Mặt khác: (a-b)2\(\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\) (2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế:
2(a2+b2) > 1
a2+b2> \(\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow a^4+2a^2b^2+b^4>\dfrac{1}{4}\) (3)
\(\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^4-2a^2b^2+b^4\ge0\) (4)
cộng (3) và (4) vế theo vế:
2(a4+b4) >\(\dfrac{1}{4}\)
=> \(a^4+b^4>\dfrac{1}{8}\left(đpcm\right)\)
Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)mà a+b=1
\(\Rightarrow ab< \dfrac{1}{4}\Rightarrow a^2b^2< \dfrac{1}{16}\)
Mặt khác \(a^4+b^4\ge2a^2b^2\)
\(\Rightarrow a^4+b^4>2.\dfrac{1}{16}=\dfrac{1}{8}\)
