Nội dung lý thuyết
Cho \(a,b\) là hai số bất kì. Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức, ta có:
\(\left(a+b\right)^3=\left(a+b\right)\left(a+b\right)^2\)
\(=\left(a+b\right)\left(a^2+2ab+b^2\right)\)
\(=a^3+2a^2b+ab^2+ba^2+2ab^2+b^3\)
\(=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.\)
Ta thấy kết quả trên không phụ thuộc vào cách chọn các số \(a,b\). Hoàn toàn tương tự, khi \(A,B\) là các biểu thức, ta cũng có kết quả:
\(\left(A+B\right)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3\quad\left(1\right)\)
Biểu thức (1) được gọi là Hằng đẳng thức số 4 - Lập phương của một tổng.
Nhận xét: Trong biểu thức (1), vai trò của \(A\) và \(B\) là như nhau. Do đó ta có:
\(\left(A+B\right)^3=\left(B+A\right)^3.\)
Ví dụ 1:
+) \(\left(x+1\right)^3=x^3+3x^2.1+3x.1^2+1^3=x^3+3x^2+3x+1.\)
+) \(\left(x+y\right)^3=x^2+3x^2y+3xy^2+y^3.\)
+) \(\left(2x+y\right)^3=\left(2x\right)^3+3.\left(2x\right)^2y+3.\left(2x\right)y^2+y^3=8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3.\)
Ta có thể sử dụng hằng đẳng thức số 4 trong các bài tập tìm \(x\) hay tính nhanh một số biểu thức.
Ví dụ 2: Tìm \(x\) biết \(x^3+3x^3+3x+9=0\).
Ta có: \(x^3+3x^3+3x+9=0\)
\(\Leftrightarrow x^3+3x^2+3x+1=-8\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3=-8=\left(-2\right)^3\)
\(\Leftrightarrow x+1=-2\)
\(\Leftrightarrow x=-3\).
Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức \(A=x^3+6x^2+12x+8\) tại \(x=8\)?
Thay vì phải thay \(x=8\) vào tất cả các vị trí chứa \(x\), ta có thể dùng hằng đẳng thức số 4 để rút gọn kết quả trước. Cụ thể:
\(A=x^3+6x^2+12x+8\)
\(=x^3+3.x^2.2+3.x.2^2+2^3=\left(x+2\right)^3.\)
Khi đó, với \(x=8\) ta có: \(A=\left(8+2\right)^3=10^3=1000.\)
Với \(a,b\) là các số bất kì, ta có:
\(\left(a-b\right)^3=\left(a-b\right)\left(a^2-2ab+b^2\right)\)
\(=a^3-2a^2b+ab^2-a^2b+2ab^2-b^3\)
\(=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.\)
Ta thấy kết quả trên không phụ thuộc vào cách chọn các số \(a,b\). Hoàn toàn tương tự, nếu \(A,B\) là các biểu thức, ta cũng có:
\(\left(A-B\right)^3=A^2-3A^2B+3AB^2-B^3\quad\left(2\right)\)
Biểu thức (2) được gọi là Hằng đẳng thức số 5 - Lập phương của một hiệu.
Nhận xét: Ta có: \(\left(B-A\right)^3=B^3-3B^2A+3AB^2-A^3\\ =-\left(A^3-3A^2B+3AB^2-B^3\right)=-\left(A-B\right)^3.\)
Do đó:
\(\left(A-B\right)^3\ne\left(B-A\right)^3,\forall A\ne B.\)
Ví dụ: \(\left(5-2\right)^3=3^3=27;\left(2-5\right)^3=\left(-3\right)^3=-27.\)
Ví dụ 1:
+) \(\left(x-1\right)^3=x^3-3x^2.1+3x.1^2-1^3=x^3-3x^2+3x-1.\)
+) \(\left(x-y\right)^3=x^2-3x^2y+3xy^2-y^3.\)
+) \(\left(\dfrac{1}{2}x-2\right)^3=\left(\dfrac{1}{2}x\right)^3-3.\left(\dfrac{1}{2}x\right)^2.2+3.\left(\dfrac{1}{2}x\right).2^2-2^3=\dfrac{1}{8}x^3-\dfrac{3}{2}x^2+6x-8.\)
Tương tự như hằng đẳng thức số 4, ta cũng có thể dùng hằng đẳng thức số 5 một cách linh hoạt trong các bài toán tìm \(x\) hay tính giá trị biểu thức.
Ví dụ 2: Tìm \(x\) biết \(x^3+3x=3x^2+2\).
Ta có: \(x^3+3x=3x^2+2\)
\(\Leftrightarrow x^3-3x^2+3x-1=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^3=1=1^3\)
\(\Leftrightarrow x-1=1\)
\(\Leftrightarrow x=2.\)
Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức \(B=x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3\) tại \(x=14,y=2\).
Ta có thể dùng hằng đẳng thức số 5 để rút gọn biểu thức \(B\) trước khi tính giá trị biểu thức. Cụ thể:
\(B=x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3\)
\(=x^3-3.x^2.2y+3.x.\left(2y\right)^2-\left(2y\right)^3=\left(x-2y\right)^3.\)
Khi đó, với \(x=14,y=2\), ta có: \(B=\left(14-2.2\right)^3=10^3=1000.\)