Question

cho a,b là các số thực thỏa mãn (√a+1)(√b+1)=4 Tìm GTNN  của M=a^2/b + b^2/a

Answer 1

Lời giải:
ĐKĐB $\Leftrightarrow \sqrt{ab}+\sqrt{a}+\sqrt{b}=3$

Áp dụng BĐT AM-GM:
$3=\sqrt{ab}+\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq \frac{a+b}{2}+\frac{a+1}{2}+\frac{b+1}{2}$

$\Rightarrow a+b\geq 2$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$M=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}\geq \frac{(a+b)^2}{b+a}=a+b\geq 2$

Vậy $M_{\min}=2$ khi $a=b=1$

Answer 2

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:

`3 = sqrt (ab) + sqrt a + sqrt b <= (a+b)/2 + (a+1)/2 + (b+1)/2`

`=> a + b >=2`

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz.

`M = b^2/a + a^2/b >= (a+b)^2/(a+b) = a+b >=2`.

`=> Mi``n` của `M = 2 <=> a = b = 1`.