Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
lê thị hoài

cho a b c là các số thực dương sao cho abc = 1

chứng minh \(\frac{a}{ca+1}+\frac{b}{ab+1}+\frac{c}{bc+1}\le\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Ho Nhat Minh
29 tháng 12 2019 lúc 18:07

Ta co:

\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{a}{ca+1}=\Sigma_{cyc}\frac{a}{ca+abc}=\Sigma_{cyc}\frac{1}{c+bc}\)

Xet

\(\Sigma_{cyc}\frac{1}{c+bc}\le\frac{1}{4}\Sigma_{cyc}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{bc}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=\frac{1}{4}\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)\)

bdt can chung minh thanh

\(ab+bc+ca+a+b+c\le2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Ta lai co:

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

Gio ta can chung minh:

\(a^2+b^2+c^2\ge a+b+c\)

Ta co hai danh gia:

\(a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

\(1=\sqrt[3]{abc}\le\frac{a+b+c}{3}\le\frac{\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{3}\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)

Suy ra can chung minh:

\(a^2+b^2+c^2\ge\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2-3\right)\ge0\) (đúng)

Dau '=' xay ra khi \(a=b=c=1\)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Tùng Trần Sơn
Xem chi tiết
Quỳnh Nguyễn Thị Ngọc
Xem chi tiết
Ngô thừa ân
Xem chi tiết
Văn Quyết
Xem chi tiết
trần trang
Xem chi tiết
Trần Huy tâm
Xem chi tiết
qưet
Xem chi tiết
Ngọc Ánh
Xem chi tiết
Cao Thi Thuy Duong
Xem chi tiết