Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Quỳnh Nguyễn Thị Ngọc

cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện abc=1

chứng minh

\(\frac{2}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{2}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{2}{c^3\left(a+b\right)}\ge ab+bc+ca\)

 Mashiro Shiina
17 tháng 3 2019 lúc 12:14

Áp dụng bđt AM-GM:

\(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{a\left(b+c\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{a\left(b+c\right)}{4a^3\left(b+c\right)}}=\frac{1}{a}\)

\(\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{b\left(c+a\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{b\left(c+a\right)}{4b^3\left(c+a\right)}}=\frac{1}{b}\)

\(\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}+\frac{c\left(a+b\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{c\left(a+b\right)}{4c^3\left(a+b\right)}}=\frac{1}{c}\)

Cộng theo vế:

\(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}+\frac{ab+bc+ac}{2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\frac{ab+bc+ac}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{2}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{2}{c^3\left(a+b\right)}\ge ab+bc+ac\) (đpcm)

\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)


Các câu hỏi tương tự
trần trang
Xem chi tiết
Tùng Trần Sơn
Xem chi tiết
Hoàng
Xem chi tiết
Tình Nguyễn Hữu
Xem chi tiết
Thảo Vi
Xem chi tiết
Tiến Lăng
Xem chi tiết
Trần Huy tâm
Xem chi tiết
Nguyen
Xem chi tiết
Trần Khánh Huyền
Xem chi tiết