Nguyên Hoàng

biết a,b,c>0. tìm min \(A=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+9bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+9ac}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+9ab}}\)

Nguyễn Việt Lâm
19 tháng 1 lúc 2:10

\(A=\dfrac{a^2}{a\sqrt{a^2+9bc}}+\dfrac{b^2}{b\sqrt{b^2+9ca}}+\dfrac{c^2}{c\sqrt{c^2+9ab}}\)

\(A\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a\sqrt{a^2+9bc}+b\sqrt{b^2+9ca}+c\sqrt{c^2+9ab}}\)

Áp dụng Bunhiacopxki:

\(\sqrt{a}.\sqrt{a^3+9abc}+\sqrt{b}.\sqrt{b^3+9abc}+\sqrt{c}.\sqrt{c^3+9abc}\le\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3+27abc\right)}\)

\(\Rightarrow A\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3+27abc\right)}}=\sqrt{\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{a^3+b^3+c^3+27abc}}\) (1)

Ta có:

\(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\right)+6abc\)

\(\dfrac{1}{10}\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\dfrac{3}{10}abc\)

\(a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\ge6\sqrt[6]{a^6b^6c^6}=6abc\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^3\ge\dfrac{9}{10}\left(a^3+b^3+c^3\right)+\dfrac{3}{10}abc+18abc+6abc\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^3\ge\dfrac{9}{10}\left(a^3+b^3+c^3+27abc\right)\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow A\ge\sqrt{\dfrac{\dfrac{9}{10}\left(a^3+b^3+c^3+27abc\right)}{a^3+b^3+c^3+27abc}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Hi Mn
Xem chi tiết
Hiếu Minh
Xem chi tiết
hiền nguyễn
Xem chi tiết
Lizy
Xem chi tiết
Linh Vương Nguyễn Diệu
Xem chi tiết
Phạm Tuấn Kiệt
Xem chi tiết
Cấn Minh Khôi
Xem chi tiết
Trần Đức Huy
Xem chi tiết
Lizy
Xem chi tiết