Question

1. Giải phương trình: \(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=\sqrt{2}\) .

2. Giải phương trình: \(4x^4-7x^3+9x^2-10x+4=0\).

3. Giải hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=3-xy\\x^4+y^4=2\end{matrix}\right.\) .

Answer 1

Bài 1: ĐKXĐ: $2\leq x\leq 4$
PT $\Leftrightarrow (\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x})^2=2$

$\Leftrightarrow 2+2\sqrt{(x-2)(4-x)}=2$
$\Leftrightarrow (x-2)(4-x)=0$

$\Leftrightarrow x-2=0$ hoặc $4-x=0$

$\Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=4$ (tm)

Answer 2

Bài 2:
PT $\Leftrightarrow 4x^3(x-1)-3x^2(x-1)+6x(x-1)-4(x-1)=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(4x^3-3x^2+6x-4)=0$
$\Leftrightarrow x=1$ hoặc $4x^3-3x^2+6x-4=0$

Với $4x^3-3x^2+6x-4=0(*)$

Đặt $x=t+\frac{1}{4}$ thì pt $(*)$ trở thành:
$4t^3+\frac{21}{4}t-\frac{21}{8}=0$

Đặt $t=m-\frac{7}{16m}$ thì pt trở thành:

$4m^3-\frac{343}{1024m^3}-\frac{21}{8}=0$
$\Leftrightarrow 4096m^6-2688m^3-343=0$

Coi đây là pt bậc 2 ẩn $m^3$ và giải ta thu được \(m=\frac{\sqrt[3]{49}}{4}\) hoặc \(m=\frac{-\sqrt[3]{7}}{4}\)

Khi đó ta thu được \(x=\frac{1}{4}(1-\sqrt[3]{7}+\sqrt[3]{49})\)

 

Answer 3

Nãy mình tìm được một cách giải tương tự cho câu 2.

PT \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(4x^3-3x^2+6x-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\4x^3-3x^2+6x-4=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy pt có 1 nghiệm bằng 1.

\(\left(1\right)\Rightarrow8x^3-6x^2+12x-8=0\)

\(\Leftrightarrow7x^3+x^3-6x^2+12x-8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^3=-7x^3\)

\(\Leftrightarrow x-2=-\sqrt[3]{7}x\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{1+\sqrt[3]{7}}\)

Vậy pt có nghiệm \(S=\left\{1;\dfrac{2}{1+\sqrt[3]{7}}\right\}\)

Lưu ý: Nghiệm của người kia hoàn toàn tương đồng với nghiệm của mình (\(\dfrac{2}{1+\sqrt[3]{7}}=\dfrac{1}{4}\left(1-\sqrt[3]{7}+\sqrt[3]{49}\right)\))

Answer 4

Bài 3:

HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=3-xy\\ (x^2+y^2)^2-2(xy)^2=2\end{matrix}\right.\)

Đặt $x^2+y^2=a; xy=b$ thì hệ trở thành:
\(\left\{\begin{matrix} a=3-b\\ a^2-2b^2=2\end{matrix}\right.\)

$\Rightarrow (3-b)^2-2b^2=2$

$\Leftrightarrow 7-b^2-6b=0$

$\Leftrightarrow b^2+6b-7=0$

$\Leftrightarrow (b-1)(b+7)=0$

$\Rightarrow b=1$ hoặc $b=-7$

Nếu $b=1$ thì $a=3-1=2$, tức là $x^2+y^2=2$ và $xy=1$

$\Rightarrow (x-y)^2=x^2+y^2-2xy=0$

$\Rightarrow x=y$. Mà $xy=1$ nên $(x,y)=(1,1); (-1, -1)$

Nếu $b=-7$ thì $a=3-(-7)=10$, tức là $x^2+y^2=10; xy=-7$

$\Rightarrow (x+y)^2=x^2+y^2+2xy=10+2(-7)=-4<0$ (vô lý)

Vậy..........