a.
$x^4-6x^3+10x^2-6x+9=(x^4-6x^3+9x^2)+(x^2-6x+9)$
$=(x^2-3x)^2+(x-3)^2=[x(x-3)]^2+(x-3)^2=(x-3)^2(x^2+1)\geq 0$ do $(x-3)^2\geq 0; x^2+1\geq 1>0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$
Vậy GTNN của biểu thức là $0$. Giá trị này đạt tại $(x-3)^2=0$
$\Leftrightarrow x=3$
c.
$x^4-2x^3+3x^2-4x+2017=(x^4-2x^3+x^2)+(2x^2-4x+2)+2015$
$=(x^2-x)^2+2(x-1)^2+2015$
$=[x(x-1)]^2+2(x-1)^2+2015=(x-1)^2(x^2+2)+2015$
$\geq 0+2015=2015$ do $(x-1)^2\geq 0; x^2+2\geq 2>0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$
Vậy GTNN của biểu thức là $2015$ tại $(x-1)^2=0\Leftrightarrow x=1$
e.
$x(x-3)(x-4)(x-7)=[x(x-7)][(x-3)(x-4)]=(x^2-7x)(x^2-7x+12)$
$=(x^2-7x)^2+12(x^2-7x)=(x^2-7x)^2+12(x^2-7x)+6^2-36$
$=(x^2-7x+6)^2-36\geq 0-36=-36$
Vậy gtnn của biểu thức là $-36$. Giá trị này đạt tại $x^2-7x+6=0$
$\Leftrightarrow (x-1)(x-6)=0\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=6$
b.
$x^4-10x^3+26x^2-10x+30=(x^4-10x^3+25x^2)+(x^2-10x+25)+5$
$=(x^2-5x)^2+(x-5)^2+5=[x(x-5)]^2+(x-5)^2+5$
$=(x-5)^2(x^2+1)+5\geq 0+5=5$ do $(x-5)^2\geq 0; x^2+1\geq 1>0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$
Vậy gtnn của biểu thức là $5$ khi $x-5=0\Leftrightarrow x=5$
d.
$x^4-4x^3+9x^2-20x+22=(x^4-4x^3+4x^2)+(5x^2-20x+20)+2$
$=(x^2-2x)^2+5(x^2-4x+4)+2=[x(x-2)]^2+5(x-2)^2+2$
$=(x-2)^2(x^2+5)+2\geq 0+2=2$ do $(x-2)^2\geq 0; x^2+5\geq 5>0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$
Vậy gtnn của biểu thức là $2$ khi $(x-2)^2=0\Leftrightarrow x=2$
f.
$(x-1)(x+2)(x+6)(x+3)-2006$
$=[(x-1)(x+6)][(x+2)(x+3)]-2006=(x^2+5x-6)(x^2+5x+6)-2006$
$=(x^2+5x)^2-6^2-2006=(x^2+5x)^2-2042\geq -2042$ do $(x^2+5x)^2\geq 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$
Vậy gtnn của biểu thức là $-2042$ khi $x^2+5x=0\Leftrightarrow x(x+5)=0$
$\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=-5$
