\(...\Rightarrow u_n=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2n^2-3+\dfrac{5}{2}}{2n^2-3}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2\left(2n^2-3\right)}\)

Ta thấy \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2.\left(-3\right)}\le u_n\le\dfrac{1}{2}+0\left(n\ge0\right)\)

\(\Rightarrow-\dfrac{1}{3}\le u_n\le\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow u_n\) bị chặn trên bởi \(\dfrac{1}{2}\) và bị chặn dưới bởi \(-\dfrac{1}{3}\)

\(f\left(1\right)=\dfrac{3.1^2-5}{1+2}=-\dfrac{2}{3}\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{3x^2-5}{x+2}=\dfrac{3.1^2-5}{1+2}=-\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow f\left(1\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=-\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\) Hàm số \(f\left(x\right)\) liên tục tại \(x=1\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow6+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow6+}\dfrac{x^2-36}{x-6}=\lim\limits_{x\rightarrow6+}x+6=12\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow6-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow6-}4x-12=12\)

\(\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow6}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow6+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow6-}f\left(x\right)=12\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow6^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow6^+}\dfrac{x^2-36}{x-6}=\lim\limits_{x\rightarrow6^+}x+6=6+6=12\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow6^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow6^-}4x-12=4\cdot6-12=24-12=12\)

=>\(\lim\limits_{x\rightarrow6^+}=\lim\limits_{x\rightarrow6^-}=12\)

=>\(\lim\limits_{x\rightarrow6}f\left(x\right)=12\)

a: \(\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{3x^2+2x-16}{x-2}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{3x^2-6x+8x-16}{x-2}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{\left(x-2\right)\left(3x+8\right)}{x-2}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow2}3x+8=3\cdot2+8=6+8=14\)

b: \(\lim\limits_{x\rightarrow7}\dfrac{x^2-49}{2x-14}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow7}\dfrac{\left(x-7\right)\left(x+7\right)}{2\left(x-7\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow7}\dfrac{x+7}{2}\)

\(=\dfrac{7+7}{2}=\dfrac{14}{2}=7\)

c: \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\sqrt{9x+7}-4}{x-1}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{9x+7-16}{x-1}:\left(\sqrt{9x+7}+4\right)\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{9}{\sqrt{9x+7}+4}=\dfrac{9}{\sqrt{9+7}+4}\)

\(=\dfrac{9}{4+4}=\dfrac{9}{8}\)

d: \(\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{4x-7}{x^2-5}=\dfrac{4\cdot3-7}{3^2-5}=\dfrac{12-7}{9-5}=\dfrac{5}{4}\)

e: \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\sqrt{9x^2+5x}}{4x-3}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\sqrt{9+\dfrac{5}{x}}}{4-\dfrac{3}{x}}=\dfrac{\sqrt{9+0}}{4-0}=\dfrac{3}{4}\)

a) \(u_{22}=u_1+21d\)

\(\Leftrightarrow d=\dfrac{u_{22}-u_1}{21}=\dfrac{67-4}{21}=3\)

Các số đặt thêm trong dãy cấp số cộng thỏa đề bài là \(7;10;13;16;...64\)

b) Để \(u_1;u_2;u_3\) là cấp số nhân 

\(\Leftrightarrow u_2^2=u_1.u_3\)

\(\Leftrightarrow4x^2=\left(2-x\right)\left(3+x\right)\)

\(\Leftrightarrow4x^2=6-x-x^2\)

\(\Leftrightarrow5x^2+x-6=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-\dfrac{6}{5}\end{matrix}\right.\)

Để tạo thành cấp số nhân có 7 số hạng mà số đầu và số cuối là 1;729 thì 729 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân có số hạng đầu là 1

=>\(u_7=729=u_1\cdot q^6=1\cdot q^6\)

=>\(q^6=729\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}q=3\\q=-3\end{matrix}\right.\)

TH1: q=3

=>5 số hạng cần tìm là:

\(1\cdot3=3;1\cdot3^2=9;1\cdot3^3=27;1\cdot3^4=81;1\cdot3^5=243\)

Tổng cấp số nhân là:

\(S=u_1\cdot\dfrac{1-q^7}{1-q}=1\cdot\dfrac{1-3^7}{1-3}=1093\)

TH2: q=-3

=>5 số hạng cần tìm là \(1\cdot\left(-3\right)=-3;1\cdot\left(-3\right)^2=9;1\cdot\left(-3\right)^3=-27;1\cdot\left(-3\right)^4=81;1\cdot\left(-3\right)^5=-243\)

Tổng của cấp số nhân là:

\(S=u_1\cdot\dfrac{1-q^7}{1-q}=1\cdot\dfrac{1-\left(-3\right)^7}{1-\left(-3\right)}=547\)

Để \(-\dfrac{1}{\sqrt{2}};\sqrt{b};\sqrt{2}\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì \(\left(\sqrt{b}\right)^2=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{2}\)

=>\(b=-1\)(loại)

=>\(b\in\varnothing\)

a: Để ba số \(10-2x;2x^2+3;7-4x\) lập thành một cấp số cộng thì

\(\left[{}\begin{matrix}10-2x+7-4x=2\left(2x^2+3\right)\\10-2x+2x^2+3=2\left(7-4x\right)\\2x^2+3+7-4x=2\left(10-2x\right)\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}4x^2+6=-6x+17\\2x^2-2x+13-14+8x=0\\2x^2-4x+10-20+4x=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}4x^2+6x-11=0\\2x^2+6x-1=0\\2x^2-10=0\end{matrix}\right.\)

=>\(x\in\left\{\dfrac{-3\pm\sqrt{53}}{4};\dfrac{-3\pm\sqrt{11}}{2};\sqrt{5};-\sqrt{5}\right\}\)

b: Để ba số \(x+1;3x-2;x^2-1\) lập thành cấp số cộng thì

\(\left[{}\begin{matrix}x+1+x^2-1=2\left(3x-2\right)\\3x-2+x^2-1=2\left(x+1\right)\\x+1+3x-2=2\left(x^2-1\right)\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x^2+x-6x+4=0\\x^2+3x-3-2x-2=0\\2x^2-2-4x+1=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x^2-5x+4=0\\x^2+x-5=0\\2x^2-4x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\in\left\{1;4\right\}\\x\in\left\{\dfrac{-1+\sqrt{21}}{2};\dfrac{-1-\sqrt{21}}{2}\right\}\\x=\dfrac{2\pm\sqrt{6}}{2}\end{matrix}\right.\)

Theo đề bài ta có :

\(u_1+u_3=28\)

\(\Leftrightarrow u_1+u_1+2d=28\)

\(\Leftrightarrow2u_1+2d=28\left(1\right)\)

\(u_3+u_5=40\)

\(\Leftrightarrow u_1+2d+u_1+4d=40\)

\(\Leftrightarrow2u_1+6d=40\left(2\right)\)

\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2u_1+2d=28\\2u_1+6d=40\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=3\\u_1=11\end{matrix}\right.\)

Số hạng cuối \(u_5=u_1+4d=11+4.3=23\)