Câu 1.

ABCD là hình vuông cạnh a
SA ⟂ (ABCD), SA = a√2

AB ⟂ SA nên tam giác SAB vuông tại A

SB² = SA² + AB²
SB² = (a√2)² + a² = 2a² + a² = 3a²
SB = a√3

AC = a√2

SC² = SA² + AC²
SC² = 2a² + 2a² = 4a²
SC = 2a

Trong mặt phẳng (SAB), hình chiếu của C lên (SAB) là B

cos góc(SC,(SAB)) = SB/SC

cos = (a√3)/(2a) = √3/2

Góc = 30°

Câu 2.

ABCD là hình thoi cạnh a, O là giao hai đường chéo

OB = a√3/3
SO = a√6/3, SO ⟂ (ABCD)

SB² = SO² + OB²
SB² = (a√6/3)² + (a√3/3)²
SB² = 2a²/3 + a²/3 = a²

SB = a

Tam giác SBC cân

cos góc phẳng nhị diện [A,BC,S] = 1/2

Góc = 60°

Câu 3.

Hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'

AB = a
AA' = a√3

AB ⟂ AD, AB ⟂ AA'

Trong mặt phẳng (ABD)

BD = a√2

Xét tam giác AB'D

AB'² = AB² + AA'²
AB'² = a² + 3a² = 4a²
AB' = 2a

AD = a

BD = a√2

cos góc phẳng nhị diện [C',AB,D] = AD/AB'

cos = a/(2a) = 1/2

cos = 1/2

Gọi SA = h.

Vì ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O nên:
OA = đường chéo/2 = (a√2)/2 = a/√2.

S chiếu vuông góc xuống (ABCD) tại A nên hình chiếu của SO lên (ABCD) chính là AO.
Góc giữa SO và (ABCD) bằng 60 độ nên:
tan 60 độ = SA / AO
√3 = h / (a/√2)
h = (a/√2)·√3 = a√6/2.

Xét mặt phẳng (SAD): vì SA vuông góc (ABCD) và AD nằm trong (ABCD) nên (SAD) là mặt phẳng “đứng” đi qua AD (tương đương mặt phẳng có phương thẳng đứng và chứa AD).

Xét đường thẳng SB:
Từ S xuống B, độ “lệch” theo phương vuông góc với (SAD) chính là AB = a.
Còn độ dài hình chiếu của SB lên (SAD) chính là độ cao h (vì phần còn lại nằm theo phương thẳng đứng).

Do đó, nếu gọi góc giữa SB và (SAD) là φ thì:
tan φ = (khoảng cách vuông góc tới (SAD)) / (độ dài hình chiếu lên (SAD)) = a / h.

Thay h = a√6/2:
tan φ = a / (a√6/2) = 2/√6 = √6/3.

Đáp số: tan góc giữa SB và (SAD) bằng √6/3.

Câu 4:

\(\sqrt{x\cdot\sqrt{x\cdot\sqrt{x\cdot\sqrt{x}}}}:x^{\frac{11}{16}}\)

\(=\sqrt{x\cdot\sqrt{x\cdot\sqrt{x\cdot x^{\frac12}}}}:x^{\frac{11}{16}}\)

\(=\sqrt{x\cdot\sqrt{x\cdot\sqrt{x^{\frac32}}}}:x^{\frac{11}{16}}\)

\(=\sqrt{x\cdot\sqrt{x\cdot x^{\frac32\cdot\frac12}}}:x^{\frac{11}{16}}\)

\(=\sqrt{x\cdot\sqrt{x\cdot x^{\frac34}}}:x^{\frac{11}{16}}\)

\(=\sqrt{x\cdot\sqrt{x^{\frac74}}}:x^{\frac{11}{16}}\)

\(=\sqrt{x\cdot x^{\frac74\cdot\frac12}}:x^{\frac{11}{16}}=\sqrt{x\cdot x^{\frac78}}:x^{\frac{11}{16}}=\sqrt{x^{\frac{15}{8}}}:x^{\frac{11}{16}}=x^{\frac{15}{16}-\frac{11}{16}}=x^{\frac{4}{16}}=x^{\frac14}=\sqrt[4]{x}\)

=>Chọn A

Câu 2:

\(a^{\frac23}\cdot\sqrt{a}=a^{\frac23}\cdot a^{\frac12}=a^{\frac23+\frac12}=a^{\frac76}\)

=>x=7/6

\(\sqrt[3]{b\cdot\sqrt{b\cdot\sqrt{b}}}=\sqrt[3]{b\cdot\sqrt{b\cdot b^{\frac12}}}=\sqrt[3]{b\cdot\sqrt{b^{\frac32}}}=\sqrt[3]{b\cdot b^{\frac34}}=\sqrt[3]{b^{\frac74}}\)

\(=b^{\frac74\cdot\frac13}=b^{\frac{7}{12}}\)

=>y=7/12

6x+12y=7+7=14

=>Chọn C

Câu 3:

\(\sqrt[21]{a^5}>\sqrt[7]{a^2}\)

=>\(a^{\frac{5}{21}}>a^{\frac27}\)

=>\(a^5>a^6\)

=>\(a^5-a^6>0\)

=>\(a^5\left(1-a\right)>0\)

=>\(a^5\left(a-1\right)<0\)

=>0<a<1

=>Chọn B

Câu 18: \(P=2^{x}+2^{-x}\)

=>\(P^2=\left(2^{x}+2^{-x}\right)^2=2^{2x}+2^{-2x}+2\cdot2^{x}\cdot2^{-x}=4^{x}+4^{-x}+2\)

=23+2

=25

=>P=5

Câu 19: \(\left(\sqrt[5]{x^3}\cdot y^{\frac25}\right)^2=x^{a}\cdot y^{b}\)

=>\(\left(x^{\frac35}\cdot y^{\frac25}\right)^2=x^{a}\cdot y^{b}\)

=>\(x^{\frac65}\cdot y^{\frac45}=x^{a}\cdot y^{b}\)

=>a=6/5; b=4/5

a+b=6/5+4/5=10/5=2

b: \(3\sqrt{a}\cdot4\cdot\frac{\sqrt{a^3}}{6\sqrt{a^5}}\)

\(=12\cdot\frac{\sqrt{a^4}}{6\cdot\sqrt{a^5}}=\frac{2}{\sqrt{a}}=\frac{2\sqrt{a}}{a}\)

c: \(a^{\frac13}:a^{\frac32}\cdot a^{\frac23}\)

\(=a^{\frac13-\frac32+\frac23}=a^{1-\frac32}=a^{-\frac12}\)

d: \(A=\left(a^{\frac12}+b^{\frac12}\right)\left(a^{\frac12}-b^{\frac12}\right)\)

\(=\left(a^{\frac12}\right)^2-\left(b^{\frac12}\right)^2=a-b\)

e: \(B=\left(a^{\frac13}+b^{\frac13}\right)\left(a^{\frac23}-a^{\frac13}\cdot b^{\frac13}+b^{\frac23}\right)\)

\(=\left(a^{\frac13}+b^{\frac13}\right)\left\lbrack\left(a^{\frac13}\right)^2-a^{\frac13}\cdot b^{\frac13}+\left(b^{\frac13}\right)^2\right\rbrack\)

\(=\left(a^{\frac13}\right)^3+\left(b^{\frac13}\right)^3=a+b\)

a: Xét ΔABC có I,J lần lượt là trung điểm của AB,AC
=>IJ là đường trung bình của ΔABC

=>JI//BC

mà BC⊂(BCD) và JI không thuộc mp(BCD)

nên JI//(BCD)