§1. Bất đẳng thức

Điều kiện : \(x\ge-1\)

Xét hàm số trên [\(-1;+\infty\) )  : \(f\left(x\right)=x^3-3x^2-8x+40\)

                                               \(g\left(x\right)=8\sqrt[4]{4x+4}\)

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :

\(g\left(x\right)=\sqrt[4]{2^4.2^4.2^4\left(5x+4\right)}\le\frac{2^4+2^4+2^4+\left(4x+4\right)}{4}=x+13\)  (2)

Dấu bằng ở (2) xảy ra khi và chỉ khi x = 3

Mặt khác :

\(f\left(x\right)-\left(x+13\right)=x^3-3x^2-9x+27=\left(x-3\right)^2\left(x+3\right)\ge0\) với mọi \(x\ge-1\)  (3)

Dấu bằng ở (3) xảy ra khi và chỉ khi x = 3. Ta có :                

  \(\left(1\right)\Leftrightarrow f\left(x\right)=g\left(x\right)\) (4)

Vậy (4) có nghĩa là dấu bằng ở (2) và (3) đồng thời xảy ra,hay x = 3 (thỏa mãn điều kiện)

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Shwarz dạng Engel và AM - GM có:
\(\dfrac{a^5}{bc}+\dfrac{b^5}{ca}+\dfrac{c^5}{ab}=\dfrac{a^6}{abc}+\dfrac{b^6}{abc}+\dfrac{c^6}{abc}\ge\dfrac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{3abc}\)

\(=\dfrac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+b^3+c^3}=a^3+b^3+c^3\)

Dấu " = " khi a = b = c = 1

Vậy...

Lời giải khác:

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\left\{\begin{matrix} \frac{a^5}{bc}+abc\geq 2\sqrt{a^6}=2a^3\\ \frac{b^5}{ac}+abc\geq 2\sqrt{b^6}=2b^3\\ \frac{c^5}{ab}+abc\geq 2\sqrt{c^6}=2c^3\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ac}+\frac{c^5}{ab}\geq 2(a^3+b^3+c^3)-3abc\)

Mặt khác, cũng theo BĐT AM-GM:

\(a^3+b^3+c^3\geq 3abc\Rightarrow 2(a^3+b^3+c^3)-3abc\geq a^3+b^3+c^3\)

Kéo theo \(\frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ac}+\frac{c^5}{ab}\geq a^3+b^3+c^3\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)

Đặt:

\(A=\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\)

Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki ta có:

\(A^2=\left(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(4a+1+4b+1+4c+1\right)=21\)

Hay \(A\le\sqrt{21}\left(đpcm\right)\)

Rảnh quá ủng hộ cách khác nè =))

Áp dụng Cô-si có:

\(\sqrt{4a+1}\cdot\sqrt{\dfrac{7}{3}}\le\dfrac{4a+1+\dfrac{7}{3}}{2}=2a+\dfrac{5}{3}\)

Tương tự vs 2 bđt còn lại: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{4b+1}\cdot\sqrt{\dfrac{7}{3}}\le2b+\dfrac{5}{3}\\\sqrt{4c+1}\cdot\sqrt{\dfrac{7}{3}}\le2c+\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\)

Cộng 2 vế của 3 bđt trên có:

\(\sqrt{\dfrac{7}{3}}\left(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\right)\le2\left(a+b+c\right)+5=7\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\le\sqrt{21}\)

Hoàn tất chứng minh

Unruly KidNguyễn Huy TúNguyễn Huy Thắng

Đặt:

\(L=\sqrt{a+2009}+\sqrt{b+2009}+\sqrt{c+2009}\)

\(L^2=\left(\sqrt{a+2009}+\sqrt{b+2009}+\sqrt{c+2009}\right)^2\)

\(\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a+b+c+6027\right)\) (bđt bunhiacopxki)

\(=3\left(2+6027\right)=18087\Leftrightarrow A\le\sqrt{18087}\)

p/s: đề đã fix vì t thấy số qá to:v

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(A=a+b+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\)

\(=\left(a+\dfrac{1}{4a}\right)+\left(b+\dfrac{1}{4b}\right)+3\left(\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4b}\right)\)

\(=2\sqrt{a\cdot\dfrac{1}{4a}}+2\sqrt{b\cdot\dfrac{1}{4b}}+3\dfrac{\left(1+1\right)^2}{4\left(a+b\right)}\)

\(\ge2\cdot\dfrac{1}{2}+2\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{3\cdot4}{4}=5=VP\)

Xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)

\(BDT\Leftrightarrow\sum\left[\dfrac{\left(a+b\right)^2}{c^2+ab}-2\right]\ge0\)\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{a^2+b^2-2c^2}{c^2+ab}\ge0\)(*)

\(\Leftrightarrow\sum\left(\dfrac{a^2-c^2}{c^2+ab}+\dfrac{b^2-c^2}{c^2+ab}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sum\left(c^2-a^2\right)\left(\dfrac{1}{a^2+bc}-\dfrac{1}{c^2+ab}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sum\left(c-a\right)^2.\dfrac{\left(c+a\right)\left(c+a-b\right)}{\left(a^2+bc\right)\left(c^2+ab\right)}\ge0\)

\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{c^2+ab}+\dfrac{\left(b+c\right)^2}{a^2+bc}+\dfrac{\left(c+a\right)^2}{b^2+ca}\ge\dfrac{\left(a+b+b+c+c+a\right)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}\)\(=\dfrac{4\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}\) (theo AM-GM với a ; b>0)

\(=\dfrac{4\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}=\dfrac{4.3.\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2.\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)(do \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\))

\(=4.1,5\) = 6 ( do a;b;c>0)

Lần sau bạn nhớ ghi đề rõ ràng

Trong các phân số sau, những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ \(\frac{3}{4}\)

Lời giải:

Vậy những phân số biểu diễn số hữu tỉ   là : 

Nguyễn Thế Bảo

ý "B" nữa cơ mà.

Ý a trên loigiaihay.com 

Bạn ghi ró đề ra nhs

Mk hok lp 8 nên 0 cs sack lp 7

=))