1. cho biểu thức
P=\(\dfrac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{x-6\sqrt{x}+4}{x-4}\)
a, rút gọn biểu thức
b, tìm giá trị của P khi x=\(9+4\sqrt{5}\)
1. cho biểu thức
P=\(\dfrac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{x-6\sqrt{x}+4}{x-4}\)
a, rút gọn biểu thức
b, tìm giá trị của P khi x=\(9+4\sqrt{5}\)
Trang fanpage của cuộc thi đã có 1.000 like đó, bạn đã like để nhận tin mới nhất chưa?
Cuộc thi Trí tuệ VICE | Facebook
Muốn đề xuất câu hỏi? Các bạn hãy liên hệ trực tiếp qua Facebook hoặc hỏi trực tiếp trên hoc24 nha :>
-------------------------------------------------
[Toán.C99-101 _ 18.2.2021]
[Toán.C102+103 _ 18.2.2021]
Câu hỏi của tran gia nhat tien - Toán lớp 8 - Học trực tuyến OLM
Giải HPT:
\(\left\{{}\begin{matrix}xy^2+2x-4y=-1\\x^2y^3+2xy^2-4x+3y=2\end{matrix}\right.\)
Like page Facebook của cuộc thi để theo dõi những sự kiện tiếp theo nha ^^
Cuộc thi Trí tuệ VICE | Facebook
Muốn đề xuất câu hỏi? Các bạn hãy liên hệ trực tiếp qua Facebook nha :>
-------------------------------------------------
[Toán.C96 _ 17.2.2021]
[Toán.C97 _ 17.2.2021]
[Toán.C98 _ 17.2.2021]
Đặt:
x = b + c; y = c + a; z = a + b
=> 2a = y + z - x;
2b = x + z - y;
2c = x + y - z.
Đặt vế trái đề bài là (1),
(1) sẽ trở thành:
½[(y + z - x)/x + 25(x + z - y)/y + 4(x + y - z)/z]
= ½(y/x + 25x/y + z/x + 4x/z + 25z/y + 4y/z)
Áp dụng BĐT CÔSI ta có:
y/x + 25x/y ≥ 2\(\sqrt{ }\)(25xy/xy) = 10
z/x + 4x/z ≥ 2\(\sqrt{ }\)(4xz/xz) = 4
25z/y + 4y/z ≥ 2\(\sqrt{ }\)(100yz/yz) = 20
(1) trở thành BĐT:
(1) ≥ ½(10 + 4 + 20 - 30) = 2
Đẳng thức xảy ra khi:
y/x = 25x/y; z/x = 4x/z; 25z/y = 4y/z
=> 25x² = y²; 4x² = z²; 25z² = 4y²
=> y/x = 5; z/x = 2; z/y = 2/5
=> x = 2; y = 10; z = 4
=> b + c = 2; c + a = 10; a + b = 4
=> c = 2 - b; a = 4 - b
=> (2 - b) + (4 - b) = 10 => b = -2 < 0 (không thỏa mãn)
Vậy đẳng thức không xảy ra và (1) > 2
Like page Facebook của cuộc thi để theo dõi những sự kiện tiếp theo nha ^^
Cuộc thi Trí tuệ VICE | Facebook
Muốn đề xuất câu hỏi? Các bạn hãy liên hệ trực tiếp qua Facebook nha :>
-------------------------------------------------
[Toán.C92 _ 17.2.2021]
[Toán.C93 _ 17.2.2021]
[Toán.C94 _ 17.2.2021]
[Toán.C95 _ 17.2.2021]
Tìm tất cả các cặp (x,y) nguyên dương thỏa mãn: \(12^x+5^x=y^2\).
[Toán.C93_17.2.2021] rất hay và khó! Đó là câu em gửi anh trên Facebook hồi sáng. Và em cũng là người đầu công khai đưa ra lời giải bài này.
Xem chi tiết tại tthnew's blog: 1721
Từ điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB và AC( B và C là tiếp điểm). Đường thằng đi qua A cắt (O) tại D và E ( D nằm giữa A và E), kẻ dây cung EN song song với BC, DN cắt BC tại I. Chứng minh rằng BI= CI
cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác thoả mãn:
\(\Sigma\dfrac{c^{2013}}{a+b-c}=\Sigma a^{2012}\)
Hãy xđ dạng của tam giác đó
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\sum \frac{c^{2013}}{a+b-c}=\sum \frac{c^{4024}}{ac^{2011}+bc^{2011}-c^{2012}}\geq \frac{(\sum a^{2012})^2}{a^{2011}(b+c)+b^{2011}(c+a)+c^{2011}(b+a)-\sum a^{2012}}\)
Ta sẽ CM:
\(a^{2011}(b+c)+b^{2011}(c+a)+c^{2011}(b+a)-\sum a^{2012}\leq \sum a^{2012}\)
\(\Leftrightarrow a^{2011}(a-b)+a^{2011}(a-c)+b^{2011}(b-a)+b^{2011}(b-c)+c^{2011}(c-a)+c^{2011}(c-b)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \sum (a-b)(a^{2011}-b^{2011})\geq 0\Leftrightarrow \sum (a-b)^2(a^{2010}+...+b^{2010})\geq 0\) (luôn đúng)
Do đó: \(\sum \frac{c^{2013}}{a+b-c}\geq \frac{(\sum a^{2012})^2}{\sum a^{2012}}=\sum a^{2012}\)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$. Tức là $ABC$ là tam giác đều.
Like page Facebook của cuộc thi để theo dõi những sự kiện tiếp theo nha ^^
Cuộc thi Trí tuệ VICE | Facebook
Muốn đề xuất câu hỏi? Các bạn hãy liên hệ trực tiếp qua Facebook nha :>
-------------------------------------------------
[Toán.C88 _ 16.2.2021]
Xét a,b,c là các số dương thỏa mãn \(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}=6\). Tìm min của \(P=\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}+\sqrt{c^2+ca+a^2}\).
[Toán.C89 _ 16.2.2021]
Cho x,y dương thỏa mãn \(x^3+y^3+6xy\le8.\) Tìm min \(Q=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\).
[Toán.C90 _ 16.2.2021]
[Toán.C91 _ 16.2.2021]
Toán C89 :
Ta có : \(x^3+y^3+6xy\le8\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-3xy.\left(x+y\right)-8+6xy\le0\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(x+y\right)^3-8\right]-3xy.\left(x+y-2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left[\left(x+y\right)^2+2.\left(x+y\right)+4\right]-3.xy.\left(x+y-2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left[\left(x+y\right)^2+2.\left(x+y\right)+4-3xy\right]\le0\) (*)
Ta thấy : \(\left(x+y\right)^2+2.\left(x+y\right)+4-3xy\)
\(=x^2+y^2-xy+2.\left(x+y\right)+4\)
\(=\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}+2.\left(x+y\right)+4>0\forall x,y>0\)
Do đó từ (*) suy ra : \(x+y-2\le0\Leftrightarrow x+y\le2\)
Ta có : \(Q=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\ge\dfrac{4}{2}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
Vậy Min \(Q=2\) khi \(x=y=1\)
Toán C88 :
Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số dương lần lượt ta có được :
\(\left(a+1\right)+4\ge4\sqrt{a+1}\)
\(\left(b+1\right)+4\ge4\sqrt{b+1}\)
\(\left(c+1\right)+4\ge4\sqrt{c+1}\)
Do đó : \(a+b+c+15\ge4.\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\right)=4.6=24\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\ge9\)
Ta có : \(a^2+ab+b^2=\dfrac{4.\left(a^2+ab+b^2\right)}{4}=\dfrac{\left(a-b\right)^2+3.\left(a+b\right)^2}{4}\ge\dfrac{3.\left(a+b\right)^2}{4}>0\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2+ab+b^2}\ge\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\left(a+b\right)\)
Chứng minh tương tự ta có :
\(\sqrt{b^2+bc+c^2}\ge\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(b+c\right)\)
\(\sqrt{c^2+ca+a^2}\ge\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\left(c+a\right)\)
Do đó : \(P\ge\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot2\cdot\left(a+b+c\right)=\sqrt{3}.\left(a+b+c\right)\ge9\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\)
Vậy Min \(P=9\sqrt{3}\) khi \(a=b=c=3\)
c89
ta có:\(x^3+y^3+6xy\le8\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left(x^2+y^2-2x-2y-xy+4\right)\le0\left(1\right)\)
áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
\(x^2+y^2\ge2xy\\ x^2+4\ge4x\\ \)
\(y^2+4\ge4y\)
=>\(x^2+y^2-xy-2x-2y+4\ge0\)(2)
\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow x+y\le2\)
ta có:\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)mà \(x+y\le2\)=>\(\dfrac{4}{x+y}\ge2\)
hay Q\(\ge2\) Dấu= xảy ra khi và chỉ khi x=y=1