chứng minh
a) \(x^{50}+x^{49}+x^{48}+...+x^2+x+1⋮x^{16}+x^{15}+x^{14}+...+x^2+x+1\)
b) \(x^{79}+x^{78}+x^{77}+...+x^2+x+1⋮x^{19}+x^{18}+x^{17}+...+x^2+x+1\)
Violympic toán 8
\(\frac{x^n-1}{x-1}=\frac{\left(x^{n-1}+x^{n-2}+......+x^3+x^2+x+1\right)\left(x-1\right)}{x-1}=x^{n-1}+x^{n-2}+......+x^3+x^2+x+1\)
a)\(A=x^{50}+x^{49}+....+x^2+x+1=\frac{x^{51}-1}{x-1}=\frac{\left(x^{17}\right)^3-1^3}{x-1}=\frac{\left(x^{17}-1\right)\left(x^{34}+x^{17}+1\right)}{x-1}\)
\(B=x^{16}+x^{15}+....+x^2+x+1=\frac{x^{17}-1}{x-1}\)
\(\frac{A}{B}=\frac{\frac{\left(x^{17}-1\right)\left(x^{34}+x^{17}+1\right)}{x-1}}{\frac{x^{17}-1}{x-1}}=x^{34}+x^{17}+1\)
b)\(C=x^{79}+x^{78}+...+x^2+x+1=\frac{x^{80}-1}{x-1}=\frac{\left(x^{40}+1\right)\left(x^{20}+1\right)\left(x^{20}-1\right)}{x-1}\)
\(D=x^{19}+x^{18}+....+x^2+x+1=\frac{x^{20}-1}{x-1}\)
\(\frac{C}{D}=\frac{\frac{\left(x^{40}+1\right)\left(x^{20}+1\right)\left(x^{20}-1\right)}{x-1}}{\frac{x^{20}-1}{x-1}}=\left(x^{40}+1\right)\left(x^{20}+1\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Thu gọn biểu thức:
\(\sqrt{\left(a-b\right)^2}+\sqrt{\left(a+b\right)^2}\)
Ta có: \(\sqrt{\left(a-b\right)^2}+\sqrt{\left(a+b\right)^2}\)
\(=\left|a-b\right|+\left|a+b\right|\)
Đúng 0
Bình luận (0)
\(\sqrt{\left(a-b\right)^2}+\sqrt{\left(a+b\right)^2}\)
\(=|a-b|+|a+b|\) ( 1 )
Nếu \(a\ge b\) \(\Rightarrow\) \(|a-b|=a-b\)
( 1 ) \(\Rightarrow\) a - b + a + b = 2a
Nếu \(a\le b\) \(\Rightarrow\) \(|a-b|=b-a\)
( 1 ) \(\Rightarrow\) b - a + a + b = 2b
Đúng 0
Bình luận (0)
Tìm x biết
|x+2|+|x-5|=3x
Ta có: |x+2|+|x-5|=3x(1)
Trường hợp 1: x<-2
(1)\(\Leftrightarrow-x-2+\left(-x+5\right)=3x\)
\(\Leftrightarrow-x-2-x+5-3x=0\)
\(\Leftrightarrow-5x+3=0\)
\(\Leftrightarrow-5x=-3\)
hay \(x=\frac{3}{5}\)(loại)
Trường hợp 2: -2≤x<5
(1)\(\Leftrightarrow x+2+5-x=3x\)
\(\Leftrightarrow3x=7\)
hay \(x=\frac{7}{3}\)(nhận)
Trường hợp 3: x≥5
(1)\(\Leftrightarrow x+2+x-5=3x\)
\(\Leftrightarrow2x-3-3x=0\)
\(\Leftrightarrow-x-3=0\)
\(\Leftrightarrow-x=3\)
hay x=-3(loại)
Vậy: \(x=\frac{7}{3}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Tìm x biết
a,|15x-1|>=37(nó là lớn hơn hoặc bằng nhưng mk ko thấy dấu đó)
b, |x+1|+|x+3|=3x
c,|x+1,1|+|x+1,2|+|x+1,3|+|x+1,4|=5x
d, |x-1|+|x-4|=4x
a) Ta có: \(\left|15x-1\right|\ge37\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}15x-1\ge37\\15x-1\le-37\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}15x\ge38\\15x\le-36\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ge\frac{38}{15}\\x\le\frac{-12}{5}\end{matrix}\right.\)
Vậy: S={\(x\in R\)|\(\left[{}\begin{matrix}x\ge\frac{38}{15}\\x\le\frac{-12}{5}\end{matrix}\right.\)}
b) Ta có: |x+1|+|x+3|=3x(1)
Trường hợp 1: x<-3
(1)\(\Leftrightarrow-x-1-x-3=3x\)
\(\Leftrightarrow-2x-4-3x=0\)
\(\Leftrightarrow-5x-4=0\)
\(\Leftrightarrow-5x=4\)
hay \(x=\frac{-4}{5}\)(loại)
Trường hợp 2: \(-3\le x< -1\)
(1)\(\Leftrightarrow x+3-x-1=3x\)
\(\Leftrightarrow3x=2\)
hay \(x=\frac{2}{3}\)(loại)
Trường hợp 3: \(x\ge-1\)
(1)\(\Leftrightarrow x+1+x+3=3x\)
\(\Leftrightarrow2x+4-3x=0\)
\(\Leftrightarrow-x+4=0\)
hay x=4(nhận)
Vậy: S={4}
d) Ta có: |x-1|+|x-4|=4x(2)
Trường hợp 1: x<1
(2)\(\Leftrightarrow1-x+4-x=4x\)
\(\Leftrightarrow5-2x-4x=0\)
\(\Leftrightarrow-6x+5=0\)
\(\Leftrightarrow-6x=-5\)
hay \(x=\frac{5}{6}\)(nhận)
Trường hợp 2: \(1\le x< 4\)
(2)\(\Leftrightarrow x-1+4-x=4x\)
\(\Leftrightarrow4x=3\)
hay \(x=\frac{3}{4}\)(nhận)
Trường hợp 2: \(x\ge4\)
(2)\(\Leftrightarrow x-1+x-4=4x\)
\(\Leftrightarrow2x-5-4x=0\)
\(\Leftrightarrow-2x-5=0\)
\(\Leftrightarrow-2x=5\)
hay \(x=\frac{-5}{2}\)(loại)
Vậy: \(S=\left\{\frac{5}{6}\right\}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Bài 1: Tìm các số x,y,z biết x^2+y^2+z^2xy+yz+zx và x^{2009}+y^{2009}+z^{2009}3^{2010}
Bài 2: Cho các số x, y thỏa mãn đẳng thức 5x^2+5y^2+8xy-2x+2y+20. Tính giá trị của biểu thức Mleft(x+yright)^{2007}+left(x-2right)^{2008}+left(y+1right)^{2009}
Bài 3: Tìm m để phương trình left(m^2-3mright)x3-2m-2x có nghiệm duy nhất.
@Nguyễn Việt Lâm @Akai Haruma Mong hai thầy cô tiếp tục giúp em ạ.
Đọc tiếp
Bài 1: Tìm các số x,y,z biết \(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\) và \(x^{2009}+y^{2009}+z^{2009}=3^{2010}\)
Bài 2: Cho các số x, y thỏa mãn đẳng thức \(5x^2+5y^2+8xy-2x+2y+2=0\). Tính giá trị của biểu thức \(M=\left(x+y\right)^{2007}+\left(x-2\right)^{2008}+\left(y+1\right)^{2009}\)
Bài 3: Tìm m để phương trình \(\left(m^2-3m\right)x=3-2m-2x\) có nghiệm duy nhất.
@Nguyễn Việt Lâm @Akai Haruma Mong hai thầy cô tiếp tục giúp em ạ.
Bài 1 :
Ta có : \(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\)
\(\Leftrightarrow2.\left(x^2+y^2+z^2\right)=2.\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2xz+x^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
Lại có : \(x^{2009}+y^{2009}+z^{2009}=3^{2010}\)
\(\Leftrightarrow3\cdot x^{2009}=3^{2010}\)
\(\Leftrightarrow x^{2009}=3^{2009}\)
\(\Leftrightarrow x=3\)
Vậy \(x=y=z=3\)
Bài 2 :
\(5x^2+5y^2+8xy-2x+2y+2=0\)
\(\Leftrightarrow4.\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2+2y+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow4.\left(x+y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=0\\x-1=0\\y+1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-1\end{matrix}\right.\)
Khi đó ta có : \(M=\left(1-1\right)^{2007}+\left(1-2\right)^{2008}+\left(-1+1\right)^{2009}=1\)
Vậy \(M=1\) với \(x,y\) thỏa mãn đề.
Bài 3 :
Ta có : \(\left(m^2-3m\right)x=3-2m-2x\)
\(\Leftrightarrow m^2x-3mx-3+2m+2x=0\)
\(\Leftrightarrow x.\left(m^2-3m+2\right)=3-2m\)
\(\Leftrightarrow x.\left(m-1\right)\left(m-2\right)=3-2m\) (1)
+) Xét \(m=1,m=2\) \(\Rightarrow\) Phương trình (1) vô nghiệm
+) Xét \(m=\frac{3}{2}\) thì ta có : \(x=0\) là nghiệm của pt.
+) Xét \(m\ne1,m\ne2\) thì pt (1) có nghiệm duy nhất là :\(x=\frac{3-2m}{\left(m-1\right)\left(m-2\right)}\)
Vậy \(m\ne1,m\ne2\) thì pt có nghiệm duy nhất.
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho tam giác ABC vuông tại B, đường phân giác trong góc widehat{BAC} cắt BC ở D. Đường thẳng qua D vuông góc với AD cắt AC ở E. Từ E vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB, AD lần lượt tại F và I.
a) Chứng minh tam giác AFI và ADE đồng dạng.
b) Chứng minh rằng DE^2DI.DA .
c) Đường thẳng qua B song song với DE cắt AC tại G. Chứng minh GE FB.
@Nguyễn Việt Lâm @Akai Haruma Mong hai thầy cô giải bài giúp em ạ.
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC vuông tại B, đường phân giác trong góc \(\widehat{BAC}\) cắt BC ở D. Đường thẳng qua D vuông góc với AD cắt AC ở E. Từ E vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB, AD lần lượt tại F và I.
a) Chứng minh tam giác AFI và ADE đồng dạng.
b) Chứng minh rằng \(DE^2=DI.DA\) .
c) Đường thẳng qua B song song với DE cắt AC tại G. Chứng minh GE = FB.
@Nguyễn Việt Lâm @Akai Haruma Mong hai thầy cô giải bài giúp em ạ.
a: Xét ΔAFI vuông tại F và ΔADE vuông tại D có
góc FAI=góc DAE
=>ΔAFI đồng dạng với ΔADE
b: Xét ΔDEA và ΔDIE có
góc DEA=góc DIE
góc EDA chung
=>ΔDEA đồng dạng với ΔDIE
=>DE/DI=DA/DE
=>DE^2=DI*DA
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh rằng với mọi giá trị của n thì \(A=n^2+n-1\) không chia hết cho 25
Lời giải:
Bổ sung điều kiện $n$ là số tự nhiên.
Phản chứng. Giả sử tồn tại $n\in\mathbb{N}$ sao cho $n^2+n-1\vdots 25$
$\Rightarrow n^2+n-1\vdots 5$
$\Leftrightarrow n^2+n-6\vdots 5$
$\Leftrightarrow (n-2)(n+3)\vdots 5$
$\Rightarrow n-2\vdots 5$ hoặc $n+3\vdots 5$
Nếu $n-2\vdots 5$ thì $n$ có dạng $5k+2$ với $k\in\mathbb{N}$
Khi đó:
$n^2+n-1=(5k+2)^2+(5k+2)-1=25k^2+25k+5$ không chia hết cho $25$ (trái với gỉa sử)
Nếu $n+3\vdots 5$ thì $n$ có dạng $5k-3$ với $k\in\mathbb{N}$
Khi đó:
$n^2+n-1=(5k-3)^2+(5k-3)-1=25k^2-25k+5$ không chia hết cho $25$ (trái giả thiết)
Tóm lại điều giả sử là sai. Tức là $n^2+n-1\not\vdots 25$ (đpcm)
Đúng 0
Bình luận (0)
1) Cho các số nguyên x, y, z thỏa mãn x, y 1 và frac{4x-4y}{2xy+z}z. Chứng minh rằng z 0
2) Tìm các số nguyên x thỏa mãn x^4-x^2+2x+2 là số chính phương.
3) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x^4+x^2-y^2+y+100.
Ai nhanh và đúng, mình sẽ đánh dấu và thêm bạn bè nhé. Thanks. Làm ơn giúp mình !!! PLEASE!!!
Đọc tiếp
1) Cho các số nguyên x, y, z thỏa mãn x, y > 1 và \(\frac{4x-4y}{2xy+z}=z\). Chứng minh rằng z = 0
2) Tìm các số nguyên x thỏa mãn \(x^4-x^2+2x+2\) là số chính phương.
3) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn \(x^4+x^2-y^2+y+10=0\).
Ai nhanh và đúng, mình sẽ đánh dấu và thêm bạn bè nhé. Thanks. Làm ơn giúp mình !!! PLEASE!!!
1. Đề thiếu/sai
2. \(A=x^2\left(x^2-1\right)+2\left(x+1\right)\)
\(=\left(x^3-x^2\right)\left(x+1\right)+2\left(x+1\right)\)
\(=\left(x+1\right)\left(x^3-x^2+2\right)\)
\(=\left(x+1\right)^2\left(x^2+2x+2\right)\)
Để A là SCP \(\Leftrightarrow x^2+2x+2\) là SCP
\(\Leftrightarrow x^2+2x+2=k^2\)
\(\Leftrightarrow k^2-\left(x+1\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow\left(k+x+1\right)\left(k-x-1\right)=1\)
\(\Rightarrow2\left(x+1\right)=0\Rightarrow x=-1\)
Đúng 0
Bình luận (0)
3.
\(x^4+x^2-y^2+y+10=0\)
\(\Leftrightarrow x^4-y^2+x^2+y=-10\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y\right)\left(x^2-y\right)+x^2+y=-10\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y\right)\left(x^2-y+1\right)=-10\)
Tới đây bạn chỉ cần kẻ bảng xét ước như bình thường
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho AM, BN, CP đồng qui tại O. Qua A và C vẽ các đường thẳng song song với BO cắt CO, OA lần lượt tại E và F
a) Tam giác FCM đồng dạng tam giác OMB. Tam giác PAE đồng dạng tam giác PBO
b) \(\frac{MB}{MC}.\frac{NC}{NA}.\frac{PA}{PB}=1\)
a: FC//BO
=>góc OBC=góc FCB
Xet ΔFCM và ΔOBM có
góc FCM=góc OBM
góc FMC=góc OMB
=>ΔFCM đồng dạng với ΔOBM
AE//BO
=>gócc EAB=góc ABO
=>ΔPAE đồng dạng với ΔPBO
b: CM/MB=FC/OB
PA/PB=AE/BO
NC/NA=OF/OA=FC/AE
=>MB/MC*NC/NA*PA/PB=1
Đúng 0
Bình luận (0)
Giải phương trình sau:
\(\frac{9x}{2x^2+x+3}-\frac{x}{2x^2-x+3}=8\)
Nhận thấy \(x=0\) ko phải nghiệm
\(\Leftrightarrow\frac{9}{2x+\frac{3}{x}+1}-\frac{x}{2x+\frac{3}{x}-1}=8\)
Đặt \(2x+\frac{3}{x}-1=t\)
\(\Leftrightarrow\frac{9}{t+2}-\frac{1}{t}=8\)
\(\Leftrightarrow9t-t-2=8t\left(t+2\right)\)
\(\Leftrightarrow8t^2+8t+2=0\Rightarrow t=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow2x+\frac{3}{x}-1=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow4x^2-x+6=0\)
Phương trình vô nghiệm
Đúng 0
Bình luận (0)