Question

Chứng minh rằng với mọi giá trị của n thì \(A=n^2+n-1\) không chia hết cho 25

Answer 1

Lời giải:

Bổ sung điều kiện $n$ là số tự nhiên.

Phản chứng. Giả sử tồn tại $n\in\mathbb{N}$ sao cho $n^2+n-1\vdots 25$

$\Rightarrow n^2+n-1\vdots 5$

$\Leftrightarrow n^2+n-6\vdots 5$

$\Leftrightarrow (n-2)(n+3)\vdots 5$

$\Rightarrow n-2\vdots 5$ hoặc $n+3\vdots 5$

Nếu $n-2\vdots 5$ thì $n$ có dạng $5k+2$ với $k\in\mathbb{N}$

Khi đó:

$n^2+n-1=(5k+2)^2+(5k+2)-1=25k^2+25k+5$ không chia hết cho $25$ (trái với gỉa sử)

Nếu $n+3\vdots 5$ thì $n$ có dạng $5k-3$ với $k\in\mathbb{N}$

Khi đó:

$n^2+n-1=(5k-3)^2+(5k-3)-1=25k^2-25k+5$ không chia hết cho $25$ (trái giả thiết)

Tóm lại điều giả sử là sai. Tức là $n^2+n-1\not\vdots 25$ (đpcm)