a: Xét ΔAEB và ΔADC có

AE=AD
\(\hat{EAB}\) chung

AB=AC

Do đó: ΔAEB=ΔADC

=>EB=DC

b: ΔAEB=ΔADC

=>\(\hat{AEB}=\hat{ADC}\)

mà \(\hat{AEB}+\hat{CEB}=180^0\) (hai góc kề bù)

và \(\hat{ADC}+\hat{BDC}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{CEB}=\hat{BDC}\)

Ta có: ΔAEB=ΔADC

=>\(\hat{ABE}=\hat{ACD}\)

Ta có: AD+DB=AB

AE+EC=AC
mà AD=AE và AB=AC
nên DB=EC

Xét ΔKDB và ΔKEC có

\(\hat{KDB}=\hat{KEC}\)

DB=EC
\(\hat{KBD}=\hat{KCE}\)

Do đó: ΔKDB=ΔKEC

c: ΔKDB=ΔKEC

=>KB=KC

Xét ΔAKB và ΔAKC có

AK chung

KB=KC

AB=AC

Do đó: ΔAKB=ΔAKC

=>\(\hat{BAK}=\hat{CAK}\)

=>AK là phân giác của góc BAC

d: Xét ΔKBC có KB=KC

nên ΔKBC cân tại K

a) xét tam giác ABE và ACD có:

AB=AC(tam giác ABC cân tại A)

^A chung

AE=AD(gt)

suy ra tam giác ABE = ACD(c.g.c)

do đó BE=CD(2 cạnh t/ứ) ( đpcm)

^ABE=^DCA( 2 góc t/ứ)

b) vì k cắt CD và BE nên:

^CDA=^BEA

ta có : ^ CDA + ^CDB = 180 độ ( 2 góc kề bù)

^BEC+^BEA=180( 2 độ góc kề bù)

suy ra ^CDB=^BEC

AB=AC(tam giác ABC cân tại A)

AD=AE(gt)

ta lại có : BD+DA=BD

CE+EA=AC

suy ra BD=CE

xét tam giác KBD và KCE có:

^KDB=^KEC(vì ^CDB=^BEC)

DB=CE(cmt)

^DBK=^ECK(vì ^ABE=^DCA)

suy ra tam giác KBD = KCE(g.c.g)(đpcm)

do đó DK=KE(2 cạnh t/ứ)

c) vì DK= KE(cmt)

suy ra K cách đều 2 cạnh AB ,AC

do đó AK là tia p/g của góc A(đpcm)

d) vì DK= KE(cmt)

BE=CD(cmt)

ta có BK+KE=BE

CK+KD=CD

do đó BK=KC

xét tam giác BKC có:

BK=KC (cmt)

suy ra tam giác BKC là tam giác cân tại K( đpcm)

\(A=\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}\)
\(=\frac{a^3}{abc}+\frac{b^3}{abc}+\frac{c^3}{abc}=\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}\)
Ta có:
\(a^3+b^3+c^3\)
\(=a^3+b^3+\left\lbrack-\left(a+b\right)\right\rbrack^3\) \(\)
\(=a^3+b^3-\left\lbrack a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)\right\rbrack\)
\(=a^3+b^3-\left(a^3+b^3\right)-3ab\left(a+b\right)\)
\(=-3ab\left(a+b\right)\)
\(=-3ab\left(-c\right)\)
\(=3abc\)
Thay \(a^3+b^3+c^3\) vào A, ta có:
\(A=\frac{3abc}{abc}=3\)

\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(a+b+c\right)^2\)
\(3a^2+3b^2+3c^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\)
\(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0\)
\(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)=0\)
\(\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2=0\)
mà \(\left(a-b\right)^2,\left(a-c\right)^2,\left(b-c\right)^2\ge0\forall a,b,c\)
\(\Rightarrow\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\ \left(a-c\right)^2=0\\ \left(b-c\right)^2=0\end{cases}\)
\(\begin{cases}a-b=0\\ a-c=0\\ b-c=0\end{cases}\)
\(\begin{cases}a=b\\ a=c\\ b=c\end{cases}\)
\(a=b=c\left(dpcm\right)\)

a: Ta có: \(AE=EB=\frac{AB}{2}\)

\(AD=DC=\frac{AC}{2}\)

mà AB=AC

nên AE=EB=AD=DC

Xét ΔADB và ΔAEC có

AD=AE
\(\hat{DAB}\) chung

AB=AC

Do đó: ΔADB=ΔAEC

=>BD=CE

b: Xét ΔDAM và ΔDCB có

DA=DC
\(\hat{ADM}=\hat{CDB}\) (hai góc đối đỉnh)

DM=DB

Do đó: ΔDAM=ΔDCB

=>\(\hat{DAM}=\hat{DCB}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AM//CB

ΔDAM=ΔDCB

=>AM=CB

Xét ΔEAN và ΔEBC có

EA=EB

\(\hat{AEN}=\hat{BEC}\) (hai góc đối đỉnh)

EN=EC

Do đó: ΔEAN=ΔEBC

=>\(\hat{EAN}=\hat{EBC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AN//BC

ΔEAN=ΔEBC

=>AN=BC

Ta có: AN//BC

AM//BC

mà AN,AM có điểm chung là A

nên M,A,N thẳng hàng

mà AM=AN(=BC)

nên A là trung điểm của BC

c: Xét ΔABC có

BD,CE là các đường trung tuyến

BD cắt CE tại I

Do đó: I là trọng tâm của ΔABC

=>\(BI=\frac23BD;CI=\frac23CE\)

mà BD=CE

nên IB=IC

Xét ΔAIB và ΔAIC có

AI chung

IB=IC

AB=AC

Do đó: ΔAIB=ΔAIC

=>\(\hat{BAI}=\hat{CAI}\)

=>AI là phân giác của góc BAC

Bài 3:

1: Xét ΔDAC và ΔBCA có

\(\hat{DAC}=\hat{BCA}\) (hai góc so le trong, AD//BC)

AC chung

\(\hat{DCA}=\hat{BAC}\) (hai góc so le trong, BA//CD)

Do đó: ΔDAC=ΔBCA
=>DA=BC và DC=BA

2: Xét ΔOAD và ΔOCB có

\(\hat{OAD}=\hat{OCB}\) (hai góc so le trong, AD//BC)

AD=BC

\(\hat{ODA}=\hat{OBC}\) (hai góc so le trong, AD//BC)

Do đó: ΔOAD=ΔOCB

=>OA=OC và OD=OB

Bài 1:

1: Xét ΔMAB và ΔMDC có

MA=MD

\(\hat{AMB}=\hat{DMC}\) (hai góc đối đỉnh)

MB=MC

Do đó: ΔMAB=ΔMDC

=>AB=DC; \(\hat{MAB}=\hat{MDC};\hat{MBA}=\hat{MCD}\)

Xét ΔMAC và ΔMDB có

MA=MD

\(\hat{AMC}=\hat{DMB}\) (hai góc đối đỉnh)

MC=MB

Do đó: ΔMAC=ΔMDB

=>AC=BD; \(\hat{MAC}=\hat{MDB};\hat{MCA}=\hat{MBD}\)

2: Xét ΔABD và ΔDCA có

AB=DC

BD=CA

AD chung

Do đó: ΔABD=ΔDCA

Sau khi đọc bài thơ "Gió từ tay mẹ", tôi xúc động sâu sắc trước tình cảm thiêng liêng, bao la và nhẫn nại mà mẹ dành cho con. Bài thơ khắc họa hình ảnh người mẹ với đôi bàn tay tần tảo, vừa quạt mát ru con ngủ trong mùa hè oi ả, vừa ủ ấm con trong mùa đông giá rét. Tình cảm ấy được gói gọn trong hai câu thơ cuối, "Bàn tay mẹ / Vì chúng con / Từ tay mẹ / Con lớn khôn", như một lời khẳng định chân thực, giản dị nhưng đầy sức nặng về sự hy sinh và tình yêu vô bờ của mẹ.