a: Ta có: \(AE=EB=\frac{AB}{2}\)
\(AD=DC=\frac{AC}{2}\)
mà AB=AC
nên AE=EB=AD=DC
Xét ΔADB và ΔAEC có
AD=AE
\(\hat{DAB}\) chung
AB=AC
Do đó: ΔADB=ΔAEC
=>BD=CE
b: Xét ΔDAM và ΔDCB có
DA=DC
\(\hat{ADM}=\hat{CDB}\) (hai góc đối đỉnh)
DM=DB
Do đó: ΔDAM=ΔDCB
=>\(\hat{DAM}=\hat{DCB}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên AM//CB
ΔDAM=ΔDCB
=>AM=CB
Xét ΔEAN và ΔEBC có
EA=EB
\(\hat{AEN}=\hat{BEC}\) (hai góc đối đỉnh)
EN=EC
Do đó: ΔEAN=ΔEBC
=>\(\hat{EAN}=\hat{EBC}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên AN//BC
ΔEAN=ΔEBC
=>AN=BC
Ta có: AN//BC
AM//BC
mà AN,AM có điểm chung là A
nên M,A,N thẳng hàng
mà AM=AN(=BC)
nên A là trung điểm của BC
c: Xét ΔABC có
BD,CE là các đường trung tuyến
BD cắt CE tại I
Do đó: I là trọng tâm của ΔABC
=>\(BI=\frac23BD;CI=\frac23CE\)
mà BD=CE
nên IB=IC
Xét ΔAIB và ΔAIC có
AI chung
IB=IC
AB=AC
Do đó: ΔAIB=ΔAIC
=>\(\hat{BAI}=\hat{CAI}\)
=>AI là phân giác của góc BAC
