b) Xét tứ giác ANMH có MN//AH(gt) và AN//MH(gt)
nên ANMH là hình bình hành(Định nghĩa hình bình hành)
Hình bình hành ANMH có \(\widehat{AHM}=90^0\)(AH⊥MH)
nên ANMH là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
⇒\(\widehat{NMH}=90^0\)
⇒NM⊥CH
Ta có: ANMH là hình chữ nhật(cmt)
nên MH=AN(hai cạnh đối trong hình chữ nhật ANMH)
Xét ΔAHC có
O là trung điểm của AC(gt)
OM//AH(gt)
Do đó: M là trung điểm của CH(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)
⇒CM=MH
mà AN=MH(cmt)
nên AN=CM
Ta có: ANMH là hình chữ nhật(cmt)
nên \(\widehat{ANM}=90^0\)
hay \(\widehat{ANO}=90^0\)
Ta có: NM⊥CH(cmt)
nên \(\widehat{CMO}=90^0\)
Ta có: ΔABC vuông cân tại A(gt)
nên \(\widehat{C}=45^0\)
Xét ΔAON vuông tại N và ΔCOM vuông tại M có
AO=CO(O là trung điểm của AC)
AN=CM(cmt)
Do đó: ΔAON=ΔCOM(Cạnh huyền-cạnh góc vuông)
⇒\(\widehat{OAN}=\widehat{OCM}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{OCM}=45^0\)(cmt)
nên \(\widehat{OAN}=45^0\)
Ta có: CA⊥AB(ΔABC vuông cân tại A)
mà F∈AB(gt)
nên CA⊥FB
hay \(\widehat{OAF}=90^0\)
Ta có: ΔANO vuông tại N(\(\widehat{ANO}=90^0\))
nên \(\widehat{OAN}+\widehat{AON}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)
hay \(\widehat{AON}=90^0-45^0=45^0\)
Xét ΔAOF vuông tại A có \(\widehat{AON}=45^0\)(cmt)
nên ΔAOF vuông cân tại A
Xét ΔAOF vuông cân tại A có AN là đường cao ứng với cạnh đáy OF(AN⊥OF)
nên AN là đường trung tuyến ứng với cạnh OF(Định lí tam giác cân)
hay N là trung điểm của OF(đpcm)
