Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Xem chi tiết

Đây là lưu ý tối quan trọng cho các bạn học sinh 12 nhé! Các bạn chú ý hí!

Ẩn danh
Xem chi tiết
Ẩn danh
Xem chi tiết

Cho $a,b\in\mathbb Z,\ a\ne-1,\ b\ne-1$ và
$\dfrac{(a+1)^2(a-1)+(b+1)^2(b-1)}{(a+1)(b+1)}$ là số nguyên.

Ta có:
$(a+1)^2(a-1)=(a+1)(a^2-1)$
$(b+1)^2(b-1)=(b+1)(b^2-1)$

Suy ra:
$\dfrac{(a+1)(a^2-1)+(b+1)(b^2-1)}{(a+1)(b+1)}$
$=\dfrac{a^2-1}{b+1}+\dfrac{b^2-1}{a+1}$

Biểu thức là số nguyên nên: $a+1\mid b^2-1,\ b+1\mid a^2-1$

Mà:
- $b^2-1=(b-1)(b+1)\Rightarrow a+1\mid b-1$
- $a^2-1=(a-1)(a+1)\Rightarrow b+1\mid a-1$

Suy ra:
- $b\equiv -1\pmod{a+1}$
- $a\equiv -1\pmod{b+1}$

Xét biểu thức: $a^{2023}b^{2024}-a$

Ta có: $a^{2023}b^{2024}-a=a(a^{2022}b^{2024}-1)$

=> $a\mid a^{2023}b^{2024}-a$

Xét theo modulo $a+1$:
$b\equiv -1\pmod{a+1}\Rightarrow b^{2024}\equiv1\pmod{a+1}$
$a\equiv -1\pmod{a+1}$

Do đó: $a^{2023}b^{2024}-a\equiv(-1)^{2023}\cdot1-(-1)\equiv0\pmod{a+1}$

Suy ra:
- $a^{2023}b^{2024}-a\equiv0\pmod{a}$
- $a^{2023}b^{2024}-a\equiv0\pmod{a+1}$

Vì $\gcd(a,a+1)=1$ nên: $a^{2023}b^{2024}-a$ chia hết cho $a(a+1)=a^2+a$.

a: AD+DB=AB

=>AD=6-4=2(cm)

AE+EC=AC

=>AE+9-6=3(cm)

Xét ΔADE và ΔABC có

\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\left(\frac26=\frac39=\frac13\right)\)

góc DAE chung

DO đó: ΔADE~ΔABC

=>Tỉ số đồng dạng là \(k=\frac{AD}{AB}=\frac26=\frac13\)

b: Xét ΔADE và ΔEKC có

\(\hat{ADE}=\hat{EKC}\left(=\hat{ABC}\right)\)

\(\hat{AED}=\hat{ECK}\) (hai góc đồng vị, DE//BC)

Do đó: ΔADE~ΔEKC

c: ΔADE~ΔEKC

=>\(\frac{C_{ADE}}{C_{EKC}}=\frac{AE}{EC}=\frac36=\frac12\)

Cho tam giác $ABC$ đồng dạng với tam giác $DEF$ theo tỉ số đồng dạng $k=\dfrac{3}{5}$

Chu vi tam giác $ABC$ là $12\text{ cm}$.

Vì hai tam giác đồng dạng nên tỉ số chu vi bằng tỉ số đồng dạng:

$\dfrac{P_{ABC}}{P_{DEF}}=\dfrac{3}{5}$

$\Rightarrow \dfrac{12}{P_{DEF}}=\dfrac{3}{5}$

$\Rightarrow P_{DEF}=\dfrac{12\cdot 5}{3}$

$\Rightarrow P_{DEF}=20\text{ cm}$

Ta có:
$\dfrac{MN}{KR}=\dfrac{9}{3}=3$

$\dfrac{MP}{KS}=\dfrac{12}{4}=3$

$\dfrac{NP}{RS}=\dfrac{15}{5}=3$

$\Rightarrow \dfrac{MN}{KR}=\dfrac{MP}{KS}=\dfrac{NP}{RS}$

Suy ra $\triangle MNP \sim \triangle KRS$ (theo trường hợp c.c.c).

Do đó các góc tương ứng bằng nhau

=> $\widehat{MNP}=\widehat{KRS}$.

Ta có $\triangle ABC$ vuông tại $A$ nên:
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10$

Với $\triangle HIK$ vuông tại $H$:
$IK=25,\ HI=15$ (đã cho)

Xét tỉ lệ các cạnh tương ứng:
$\dfrac{AB}{HI}=\dfrac{6}{15}=\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{AC}{HK}=\dfrac{8}{20}=\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{BC}{IK}=\dfrac{10}{25}=\dfrac{2}{5}$

=> $\dfrac{AB}{HI}=\dfrac{AC}{HK}=\dfrac{BC}{IK}$

$\Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle HIK$ (theo trường hợp c.c.c).

Vậy hai tam giác $ABC$ và $HIK$ đồng dạng với nhau.

Cho $AB=8,\ AC=16,\ BD=2,\ CE=13$

Suy ra:
$AD=AB-BD=8-2=6$

$AE=AC-CE=16-13=3$

a) Xét:$\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{6}{3}=2$

$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{8}{16}=2$

Lại có $\widehat{DAE}=\widehat{BAC}$ (góc chung)

$\Rightarrow \triangle AED \sim \triangle ABC$ (c.g.c)

b) Từ $\triangle AED \sim \triangle ABC$ suy ra:
$\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{ED}{BC}$

$\Rightarrow AD \cdot BC = AC \cdot ED$

c) Do $\triangle AED \sim \triangle ABC$ nên các góc tương ứng bằng nhau, suy ra:
$\widehat{AED}=\widehat{ABC}$

a) Ta có:
$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$

$\Rightarrow \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$

b) Xét: $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$

Lại có $\widehat{DAE}=\widehat{BAC}$ (góc chung)

$\Rightarrow \triangle ADE \sim \triangle ABC$ (theo trường hợp c.g.c)

c) Từ $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ suy ra:
$\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AB}$

$\Rightarrow DE=\dfrac{AD}{AB}\cdot BC=\dfrac{1}{3}\cdot4=\dfrac{4}{3}\text{ cm}$

Cho $AB=12,\ AC=18,\ BC=27,\ CD=12$
=> $BD=BC-CD=27-12=15$

a) Ta có:
$\dfrac{AC}{CB}=\dfrac{18}{27}=\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{DC}{CA}=\dfrac{12}{18}=\dfrac{2}{3}$

Lại có $\widehat{ACB}=\widehat{DCA}$ (góc chung)

$\Rightarrow \triangle ACB \sim \triangle DCA$ (theo c.g.c)

b) Từ $\triangle ACB \sim \triangle DCA$ suy ra:
$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{DC}$

$\Rightarrow \dfrac{12}{AD}=\dfrac{18}{12}=\dfrac{3}{2}$

$\Rightarrow AD=\dfrac{12 \cdot 2}{3}=8\text{ cm}$

c) Do $\triangle ACB \sim \triangle DCA$ nên các góc tương ứng bằng nhau, suy ra:
$\widehat{DAC}=\widehat{ABC}=70^\circ$

a: Xét ΔFBG và ΔFCD có

\(\hat{FBG}=\hat{FCD}\) (hai góc so le trong, BG//CD)

\(\hat{BFG}=\hat{CFD}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔFBG~ΔFCD

Xét ΔGAD và ΔDCF có

\(\hat{GAD}=\hat{DCF}\) (ABCD là hình bình hành)

\(\hat{AGD}=\hat{CDF}\) (hai góc so le trong, AG//CD)

Do đó: ΔGAD~ΔDCF

b: FC+FB=BC

=>FB=5-3=2(cm)

ΔFBG~ΔFCD

=>\(\frac{BG}{CD}=\frac{FB}{FC}\)

=>\(\frac{BG}{6}=\frac23=\frac46\)

=>BG=4(cm)

AG=AB+BG=6+4=10(cm)

c: ΔGAD~ΔDCF

=>\(\frac{GA}{DC}=\frac{AD}{CF}\)

=>\(AG\cdot CF=AD\cdot DC=AD\cdot AB\)