Số học sinh đăng ký Vật lý \(N\left(A\right)=24\)

Số học sinh đăng ký Hóa học \(N\left(B\right)=20\)

Số học sinh đăng ký Sinh học \(N\left(C\right)=22\)

Số học sinh đăng ký đúng \(1\) môn là \(x\)

Số học sinh đăng ký cả \(3\) môn là \(y\)

Số học sinh đăng ký đúng \(2\) môn là \(z\)

Tổng số học sinh: \(x+y+z=40\left(1\right)\)

Số học sinh đăng ký đúng \(1\) môn gấp \(3\) lần số học sinh đăng ký cả \(3\) môn:

\(x=3y\left(2\right)\)

\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow z=40-4y\left(3\right)\)

Số học sinh \(N\left(A\right)+N\left(B\right)+N\left(C\right)=x+3y+2z=24+20+22=66\left(4\right)\)

\(\left(3\right);\left(4\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=21\\y=7\\z=12\end{matrix}\right.\)

Vậy chọn C

Bài 4 :

Xác suất An lấy được viên bi trắng: \(P\left(A\right)=\dfrac{8}{6+8}=\dfrac{4}{7}\)

An đã lấy được một viên bi trắng, khi đó số bi còn lại là: \(7\) viên bi trắng, \(6\) viên bi đen

Xác suất Bình lấy được viên bi trắng là: \(P\left(B|A\right)=\dfrac{7}{6+7}=\dfrac{7}{13}\)

\(P\left(AB\right)=P\left(A\right).P\left(B|A\right)=\dfrac{4}{7}.\dfrac{7}{13}=\dfrac{4}{13}\)

Bài 5 :

\(A:\) là biến cố lấy được viên bi đỏ

\(H1:\) là biến cố chọn hộp \(1\)

\(H2:\) là biến cố chọn hộp \(2\)

Xác suất lấy được bi đỏ khi chọn hộp \(1\): \(P\left(A|H1\right)=\dfrac{4}{4+5}=\dfrac{4}{9}\)

Xác suất chọn hộp \(1;2:P\left(H1\right)=P\left(H2\right)=\dfrac{1}{2}\)

Xác suất lấy được bi đỏ khi chọn hộp \(2:P\left(A|H2\right)=\dfrac{6}{6+4}=\dfrac{3}{5}\)

Xác suất lấy được viên bi đỏ : 

\(P\left(A\right)=P\left(A|H1\right).P\left(H1\right)+P\left(A|H2\right).P\left(H2\right)=\dfrac{4}{9}.\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{5}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{47}{90}\)

a) Học sinh được chọn thích chơi thể thao, biết rằng học sinh đó là nữ

\(P\left(A\right)=\dfrac{6}{15}=\dfrac{2}{5}\)

b) Học sinh được chọn là nữ, biết rằng học sinh đó thích chơi thể thao

\(P\left(B\right)=\dfrac{6}{16+6}=\dfrac{3}{11}\)

a) \(A:\) là biến cố tổng số chấm xuất hiện là \(8\)

\(B:\) là biến cố ít nhất một con ra mặt \(1\)

\(P\left(B\right)=1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^3=\dfrac{91}{216}\)

Tổng số chấm là \(X1+X2+X3=8\left(1\le X\left(1;2;3\right)\le6\right)\)

Các tổ hợp khả thi là: 

\((1,1,6),(1,2,5),(1,3,4),(1,4,3),(1,5,2),(1,6,1),(2,1,5),(2,2,4),…,(3,3,2)\)

\(\Rightarrow\) Tổng cộng có \(21\left(bộ.số\right)\) thỏa mãn tổng là \(8\)

Nếu không có con nào ra mặt \(1\), mỗi số trong \(\left(X1;X2;X3\right)\) phải thuộc \(\left\{2;3;4;5;6\right\}\), nhưng không có bộ số nào trong các tổ hợp trên thỏa mãn tổng là \(8\) và không chứa số \(1\)

\(\Rightarrow\) Tất cả \(21\left(bộ.số\right)\) đều thuộc \(B\)

Xác suất tổng số chấm là \(8\) và ít nhất một con ra mặt \(1\)

\(P\left(A\cap B\right)=\dfrac{21}{216}\)

\(P\left(A|B\right)=\dfrac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=\dfrac{\dfrac{21}{216}}{\dfrac{91}{216}}=\dfrac{21}{91}\)

b) \(C:\) là biến cố có ít nhất một con ra mặt \(6\)

\(D:\) là biến cố số chấm trên \(3\) con là khác nhau

Số cách chọn \(3\) số khác nhau từ tập \(\left\{1;2;3;4;5;6\right\}:C_6^3=20\left(cách\right)\)

Mỗi bộ \(3\) số có \(3!=6\left(hoán.vị\right)\)

\(P\left(D\right)=\dfrac{20.6}{216}=\dfrac{5}{9}\)

Số cách chọn \(2\) số khác nhau từ \(\left\{1;2;3;4;5\right\}:C_5^3=10\left(cách\right)\)

Mỗi bộ \(3\) số có \(3!=6\left(hoán.vị\right)\)

\(P\left(C\cap D\right)=\dfrac{10.6}{216}=\dfrac{5}{18}\)

Xác suất để có ít nhất một con ra mặt \(6\), biết rằng số chấm trên \(3\) con là khác nhau :

\(P\left(C|D\right)=\dfrac{P\left(C\cap D\right)}{P\left(D\right)}=\dfrac{\dfrac{5}{18}}{\dfrac{5}{9}}=\dfrac{1}{2}\)

(d): \(\left\{{}\begin{matrix}x=-2t\\y=-t\\z=2t+5\end{matrix}\right.\)

=>VTCP là \(\overrightarrow{a}=\left(-2;-1;5\right)\)

(P): -2y+3z-1=0

=>VTPT là \(\overrightarrow{b}=\left(0;-2;3\right)\)

sin của góc giữa (d) và (P) là:

\(\dfrac{\left|-2\cdot0+\left(-1\right)\cdot\left(-2\right)+5\cdot3\right|}{\sqrt{\left(-2\right)^2+\left(-1\right)^2+5^2}\cdot\sqrt{0^2+\left(-2\right)^2+3^2}}=\dfrac{\left|17\right|}{\sqrt{4+1+25}\cdot\sqrt{13}}=\dfrac{17}{\sqrt{390}}\)

=>Số đo của góc giữa (d) và (P) là:

\(arcsin\left(\dfrac{17}{\sqrt{390}}\right)\simeq59^025'\)

(d): \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+3t\\y=-1+t\\z=2-2t\end{matrix}\right.\)

=>VTCP là \(\overrightarrow{a}=\left(3;1;-2\right)\)

(P): x+2y+z+1=0

=>VTPT là \(\overrightarrow{b}=\left(1;2;1\right)\)

\(sin\widehat{\left(d\right);\left(P\right)}=\dfrac{\left|3\cdot1+1\cdot2+\left(-2\right)\cdot1\right|}{\sqrt{3^2+1^2+\left(-2\right)^2}\cdot\sqrt{1^2+2^2+1^2}}\)

=>\(sin\widehat{\left(d\right);\left(P\right)}=\dfrac{3}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{6}}=\dfrac{3}{\sqrt{84}}=\dfrac{\sqrt{21}}{14}\)

=>\(\widehat{\left(d\right);\left(P\right)}\simeq19^06'\)

Đặt \(\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z+2}{-1}=k\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x-1=k\\y+1=2k\\z+2=-k\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1+k\\y=-1+2k\\z=-2-k\end{matrix}\right.\)

=>(d) có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow{a}=\left(1;2;-1\right)\)

(P): x+2y-z+2=0

=>(P) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{b}=\left(1;2;-1\right)\)

Gọi góc giữa (d) và (P) là \(\alpha\)

\(sin\alpha=\dfrac{\left|1\cdot1+2\cdot2+\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)\right|}{\sqrt{1^2+2^2+\left(-1\right)^2}\cdot\sqrt{1^2+2^2+\left(-1\right)^2}}\)

\(=\dfrac{\left|1+4+1\right|}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}}=\dfrac{6}{6}=1\)

=>\(\alpha=90^0\)

Đặt \(\dfrac{x+2}{2}=\dfrac{y+4}{2}=\dfrac{z+1}{1}=k\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x+2=2k\\y+4=2k\\z+1=k\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2+2k\\y=-4+2k\\z=-1+k\end{matrix}\right.\)

=>(d) có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow{a}=\left(2;2;1\right)\)

(P): x+z+24=0

=>(P) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{b}=\left(1;0;1\right)\)

Gọi góc giữa (d) và (P) là \(\alpha\)

\(sin\alpha=\dfrac{\left|2\cdot1+2\cdot0+1\cdot1\right|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}\cdot\sqrt{1^2+0^2+1^2}}=\dfrac{3}{\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

=>\(\alpha=45^0\)

Đặt \(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z}{-1}=k\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=2k\\y-3=2k\\z=-k\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2k\\y=3+2k\\z=-k\end{matrix}\right.\)

=>(d') có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow{b}=\left(2;2;-1\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x=3-t\\y=4t\\z=1+t\end{matrix}\right.\left(d\right)\)

=>(d) có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow{a}=\left(-1;4;1\right)\)

Gọi góc giữa (d) và (d') là \(\alpha\)

\(cos\alpha=\dfrac{\left|2\cdot\left(-1\right)+2\cdot4+1\cdot\left(-1\right)\right|}{\sqrt{2^2+2^2+\left(-1\right)^2}\cdot\sqrt{1^2+4^2+\left(-1\right)^2}}\)

=>\(cos\alpha=\dfrac{\left|-2+8-1\right|}{\sqrt{4+4+1}\cdot\sqrt{1+4+1}}=\dfrac{5}{3\cdot\sqrt{6}}\)

=>\(\alpha\simeq47^07'\)