a: ĐKXĐ: \(x\notin\left\{5;2;-2\right\}\)

Sửa đề: \(M=\dfrac{2x-10}{x^2-7x+10}-\dfrac{2x}{x^2-4}+\dfrac{1}{2-x}\)

\(=\dfrac{2\left(x-5\right)}{\left(x-5\right)\left(x-2\right)}-\dfrac{2x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\dfrac{1}{x-2}\)

\(=\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{1}{\left(x-2\right)}-\dfrac{2x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

\(=\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{2x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\dfrac{x+2-2x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

\(=\dfrac{-x+2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\dfrac{-1}{x+2}\)

b: Để M là số nguyên thì \(-1⋮x+2\)

=>\(x+2\in\left\{1;-1\right\}\)

=>\(x\in\left\{-1;-3\right\}\)

\(\dfrac{6}{\sqrt{11}-\sqrt{17}}=\dfrac{6\left(\sqrt{11}+\sqrt{17}\right)}{11-17}\)

\(=\dfrac{6\left(\sqrt{11}+\sqrt{17}\right)}{-6}=-\sqrt{11}-\sqrt{17}\)

A) Ta có thể chứng minh đồng dạng giữa tam giác \(BMI\) và \(ADI\) bằng cách so sánh các góc tương ứng:
   - Góc \(BMI\) và góc \(ADI\) là góc \(BAC\) và góc \(BAD\), vì chúng là góc ở đỉnh đồng dạng.
   - Góc \(BIM\) và góc \(ADI\) là góc vuông vì \(IM\) và \(ID\) là đường cao trong tam giác \(BMI\) và \(ADI\) tương ứng.

Vậy, ta có thể kết luận \(BMI\) đồng dạng \(ADI\).

B) Để chứng minh \(BI \cdot BD = BM \cdot BC\), ta sử dụng định lý Phân đôi đường cao trong tam giác vuông và tính chất của đường cao trong tam giác:

Trong tam giác \(ABD\) vuông tại \(D\):
   - Định lý Phân đôi đường cao: \(BD^2 = BM \cdot BC\)

Vậy, \(BI \cdot BD = BI \cdot \sqrt{BM \cdot BC} = \sqrt{BM \cdot BC} \cdot BD = BM \cdot BC\).

Vậy, ta chứng minh được \(BI \cdot BD = BM \cdot BC\).

C) Để chứng minh \( \angle BIC = \angle BMD \), ta sử dụng tính chất của góc nội tiếp và góc ở tâm:

   - Góc \(BIC\) là góc nội tiếp của đường tròn ngoại tiếp \(ABC\), nên \( \angle BIC = \frac{1}{2} \angle BAC\).
   - Góc \(BMD\) là góc ở tâm của đường tròn ngoại tiếp \(ABCD\), nên \( \angle BMD = \frac{1}{2} \angle BAD\).

Vì \( \angle BAC = \angle BAD\), nên \( \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \angle BAD\), và do đó \( \angle BIC = \angle BMD\).

Vậy, ta chứng minh được \( \angle BIC = \angle BMD\).

a: Xét ΔIMB vuông tại M và ΔIDA vuông tại D có

\(\widehat{MIB}=\widehat{DIA}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔIMB~ΔIDA

b: Xét ΔBMI vuông tại M và ΔBDC vuông tại D có

\(\widehat{MBI}\) chung

Do đó: ΔBMI~ΔBDC

=>\(\dfrac{BM}{BD}=\dfrac{BI}{BC}\)

=>\(BM\cdot BC=BI\cdot BD\)

c: \(\dfrac{BM}{BD}=\dfrac{BI}{BC}\)

=>\(\dfrac{BM}{BI}=\dfrac{BD}{BC}\)

Xét ΔBMD và ΔBIC có

\(\dfrac{BM}{BI}=\dfrac{BD}{BC}\)

\(\widehat{MBD}\) chung

Do đó: ΔBMD~ΔBIC

=>\(\widehat{BMD}=\widehat{BIC}\)

a) Ta có: ∠ADB = ∠EAC (vì BD và CE là hai đường cao của tam giác ABC, nên ∠ADB và ∠EAC là góc đối của cùng một cạnh AB).
Và ∠ABD = ∠AEC (vì BD và CE là hai đường cao của tam giác ABC, nên ∠ABD và ∠AEC là góc đối của cùng một cạnh AC).
Do đó, tam giác △ABD đồng dạng tam giác △ACE theo góc đồng dạng (AA).

Ta biết: BD và CE là hai đường cao của tam giác ABC, nên BD ⊥ AC và CE ⊥ AB.
Vì BD ⊥ AC, nên BD là đoạn vuông góc từ B đến AC.
Vì CE ⊥ AB, nên CE là đoạn vuông góc từ C đến AB.
Do đó, BD và CE là hai đoạn vuông góc từ hai đỉnh B và C đến cạnh AB và AC.
Vậy tỷ lệ đồng dạng của các cạnh là: \((\frac{{BD}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{AC}}).\)

Như vậy, tam giác △ABD đồng dạng tam giác △ACE theo góc đồng dạng (AA) và tỷ lệ đồng dạng của các cạnh.

b) Ta biết: AB = 4cm, AC = 5cm, AD = 2cm.

Vì tam giác △ABD đồng dạng tam giác △ACE, nên tỷ lệ đồng dạng của các cạnh là:

\((\frac{{BD}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{AC}}) (BD = \frac{{AB \cdot CE}}{{AC}}) (BD = \frac{{4 \cdot CE}}{{5}}) (BD = \frac{{4CE}}{{5}})\)

Vì BD là đoạn thẳng vuông góc từ B đến AC, nên BD + ED = AB.

(BD + CE = 4)

\((\frac{{4CE}}{{5}} + DE = 4) (DE = 4 - \frac{{4CE}}{{5}}) (DE = \frac{{20 - 4CE}}{{5}})\)

c) Vì tam giác △ABD đồng dạng tam giác △ACE, nên góc EAC = góc ABD.

Nhưng góc EAC = góc ECH (vì CE là đường cao từ C đến AB).

Vậy góc EDH = góc ECH.

A) Để chứng minh \( \triangle ABD \sim \triangle ACE \), chúng ta cần chỉ ra rằng tỉ lệ các độ dài các cạnh trong hai tam giác là như nhau.

Xét \( \triangle ABD \) và \( \triangle ACE \):
   - \( \angle ABD \) và \( \angle ACE \) là góc vuông, vì \( BD \) và \( CE \) là đường cao của \( \triangle ABC \).
   - \( \angle ADB \) và \( \angle AEC \) là góc có chung với \( \angle A \).

Vì vậy, theo góc - góc - góc, ta có \( \triangle ABD \sim \triangle ACE \).

B) Ta sử dụng tỉ lệ đồng dạng để tính \( DE \):
\[
\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{EC}
\]
Thay vào đó giá trị đã biết:
\[
\frac{2}{4} = \frac{DE}{5}
\]
\[
DE = \frac{2}{4} \times 5 = 2.5 \text{ cm}
\]

C) Để chứng minh \( \angle EDH = \angle ECH \), chúng ta có thể sử dụng tính chất của góc nội tiếp và góc ngoại tiếp:
- Vì \( AC \) là đường chéo của hình chữ nhật \( ABCD \), nên \( \angle BAC = \angle EDC \) (góc ngoại tiếp).
- Từ đó, ta có \( \angle ECH = \angle EDC \).
- Do \( DH \) là đường cao của tam giác \( ABD \), nên \( \angle EDH = 90^\circ - \angle BDA \).
- Nhưng \( \angle BDA = \angle EDC \) (vì \( AB \) song song \( DC \)), nên \( \angle EDH = 90^\circ - \angle EDC \).

Vậy, \( \angle EDH = \angle ECH \).

a: Xét ΔABD vuông tại D và ΔACE vuông tại E có

\(\widehat{BAD}\) chung

Do đó: ΔABD~ΔACE

b: Đề chưa đủ dữ kiện để tính DE nha bạn

c: Đề sai rồi bạn

A(1;3); B(-2;-2); C(3;-2)

\(AB=\sqrt{\left(-2-1\right)^2+\left(-2-3\right)^2}=\sqrt{34}\)

\(AC=\sqrt{\left(3-1\right)^2+\left(-2-3\right)^2}=\sqrt{29}\)

\(BC=\sqrt{\left(3+2\right)^2+\left(-2+2\right)^2}=5\)

Xét ΔABC có \(cosBAC=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\dfrac{34+29-25}{2\cdot\sqrt{34}\cdot\sqrt{29}}=\dfrac{19}{\sqrt{986}}\)

=>\(sinBAC=\sqrt{1-\dfrac{19^2}{986}}=\dfrac{25}{\sqrt{986}}\)

Diện tích tam giác BAC là:

\(S_{BAC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot sinBAC\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{34}\cdot\sqrt{29}\cdot\dfrac{25}{\sqrt{986}}=\dfrac{25}{2}\)

Chu vi tam giác ABC là:

\(C_{ABC}=AB+AC+BC=\sqrt{34}+\sqrt{29}+5\)

a: Xét ΔAEC vuông tại E và ΔAFB vuông tại F có

\(\widehat{EAC}\) chung

Do đó: ΔAEC~ΔAFB

b: ΔAEC~ΔAFB

=>\(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AC}{AB}\)

=>\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)

Xét ΔAEF và ΔACB có

\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)

\(\widehat{FAE}\) chung

Do đó ΔAEF~ΔACB

=>\(\widehat{AEF}=\widehat{ACB}\)

c: Xét ΔABC có

BF,CE là các đường cao

BF cắt CE tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC tại D

Xét ΔBDH vuông tại D và ΔBFC vuông tại F có

\(\widehat{DBH}\) chung

Do đó: ΔBDH~ΔBFC

=>\(\dfrac{BD}{BF}=\dfrac{BH}{BC}\)

=>\(BD\cdot BC=BH\cdot BF\)

Xét ΔCDH vuông tại D và ΔCEB vuông tại E có

\(\widehat{DCH}\) chung

Do đó: ΔCDH~ΔCEB

=>\(\dfrac{CD}{CE}=\dfrac{CH}{CB}\)

=>\(CH\cdot CE=CD\cdot CB\)

\(BH\cdot BF+CH\cdot CE\)

\(=BD\cdot BC+CD\cdot BC=BC^2\)

Ta có hình vuông ABCD với hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên cạnh AB, lấy điểm M (0 < MB < MA), và trên cạnh BC, lấy điểm N sao cho góc MON = 90 độ. Gọi E là giao điểm của AN với DC, và gọi K là giao điểm của ON với BE. Qua K, vẽ đường thẳng song song với OM cắt BC tại H.

Để chứng minh KC/KB + KN/KH + CN/BH = 1, ta sẽ sử dụng các thông tin sau:

Tam giác MON vuông tại O (do góc MON = 90 độ):

Ta có: MN = MO + ON (theo định lý Pythagoras).
Vì OM song song với KH, nên ta có: MN/KH = MO/OK.
Tam giác MOK và tam giác NOH đồng dạng (do có hai góc bằng nhau):

Ta có: MO/OK = NO/NH.
Tam giác NOH vuông tại N (do góc MON = 90 độ):

Ta có: NH = NO + OH (theo định lý Pythagoras).
Bây giờ, ta sẽ kết hợp các thông tin trên:

Từ (1) và (2), ta có: MN/KH = NO/NH.
Từ (3), ta có: NO/NH = 1 - OH/NH.
Kết hợp hai phương trình trên, ta có:

MN/KH = 1 - OH/NH ⇒ MN/KH + OH/NH = 1

Nhưng MN/KH = KC/KB và OH/NH = CN/BH, nên ta có:

KC/KB + CN/BH = 1

Vậy ta đã chứng minh được KC/KB + KN/KH + CN/BH = 1.

1) Góc MON = 90 độ (do góc MON = 90 độ theo đề bài).
Ta cần chứng minh rằng MN = MO.
Vì góc MON = 90 độ, ta có tam giác MON là tam giác vuông.
Góc MNO = 45 độ (vì góc MON = 90 độ và góc MNO + góc MON = 90 độ).
Góc ONM = 45 độ (vì góc MON = 90 độ và góc ONM + góc MON = 90 độ).
Vì góc MNO = góc ONM = 45 độ, ta có MN = MO (do hai cạnh góc vuông bằng nhau).
Do đó, tam giác MON là tam giác vuông cân.

2) Ta cần chứng minh rằng góc MON = góc EBN.
Góc MON = 90 độ (theo đề bài).
Góc EBN = góc EBA (vì BE//AC).
Góc EBA = 90 độ (vì AB ⊥ AC).
Vì góc MON = góc EBN = 90 độ, ta có MN//BE.

3) Ta cần chứng minh rằng góc BCK = 90 độ.
Góc BCK = góc EBN (vì BE//AC và góc BCK = góc EBN).
Góc EBN = 90 độ (vì AB ⊥ AC).
Vì góc BCK = góc EBN = 90 độ, ta có CK vuông góc với BE.