Bài 3: Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

a/ Xét hiệu: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(luôn đúng) (đpcm)

''='' xảy ra khi a = b

b/ Sửa đề chút nhé: CMR:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{1}{\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{ac}}\)

Áp dụng bđt AM-GM có:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{b}}=2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}=\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\);

Tương tự ta có:

\(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{\sqrt{bc}}\); \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{\sqrt{ac}}\)

Cộng 2 vế ba bđt trên ta được:

\(2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge2\left(\dfrac{1}{\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{ac}}\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{1}{\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{ac}}\left(đpcm\right)\)

''='' xảy ra khi a = b = c

\(B=\dfrac{2u+\sqrt{uv}-3v}{2u-5\sqrt{uv}+3v}\)

\(=\dfrac{2u+3\sqrt{uv}-2\sqrt{uv}-3v}{2u-2\sqrt{uv}-3\sqrt{uv}+3v}\)

\(=\dfrac{\sqrt{u}.\left(2\sqrt{u}+3\sqrt{v}\right)-\sqrt{v}.\left(2\sqrt{u}+3\sqrt{v}\right)}{2\sqrt{u}.\left(\sqrt{u}-\sqrt{v}\right)-3\sqrt{v}.\left(\sqrt{u}-\sqrt{v}\right)}\)

\(=\dfrac{\left(2\sqrt{u}+3\sqrt{v}\right)\left(\sqrt{u}-\sqrt{v}\right)}{\left(\sqrt{u}-\sqrt{v}\right)\left(2\sqrt{u}-3\sqrt{v}\right)}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{u}+3\sqrt{v}}{2\sqrt{u}-3\sqrt{v}}\\ =\dfrac{4u+12\sqrt{uv}+9v}{4u-9v}\)

a) ta có \(\sqrt{27}>\sqrt{25}=5\)

\(\sqrt{6}>\sqrt{4}=2\)

Suy ra \(\sqrt{27}+\sqrt{6}+1>5+2+1=8\)

Ta có 64>48\(\Rightarrow\sqrt{64}>\sqrt{48}\Rightarrow8>\sqrt{48}\)

Vậy \(\sqrt{27}+\sqrt{6}+1>\sqrt{48}\)

b) Ta có \(\sqrt{15}.\sqrt{17}=\sqrt{255}\)

Ta lại có 324>255\(\Rightarrow\sqrt{324}>\sqrt{255}\Rightarrow18>\sqrt{255}\)

Vậy \(18>\sqrt{15}.\sqrt{17}\)

a) + a=6,5

Ta thế 6,5 vào \(\sqrt{a^2}\), ta có:

\(\sqrt{6,5^2}\)= l6,5l = 6,5

+ a=-0,1

Ta thế -0,1 vào \(\sqrt{a^2}\), ta có:

\(\sqrt{-0,1^2}\)= l-0,1l = 0,1

b) + a=3

Ta thế 3 vào \(\sqrt{a^4}\), ta có:

\(\sqrt{3^4}\)= \(\sqrt{\left(3^2\right)^2}\)= 9

+ a=-0,1

Ta thế -0,1 vào \(\sqrt{a^4}\), ta có:

\(\sqrt{-0,1^4}\)= \(\sqrt{\left(-0,1^2\right)^2}\)= 0,01

c) +a=-2

Ta thế -2 vào \(\sqrt{a^6}\), ta có:

\(\sqrt{\left(-2\right)^6}\)= \(\sqrt{\left(-2^3\right)^2}\)= 8

+a=0,1

Ta thế 0,1 vào \(\sqrt{a^6}\), ta có:

\(\sqrt{0,1^6}\)=\(\sqrt{\left(0,1^3\right)^2}\)= 0,001

Ta có chu vi của tam giác đó bằng 2\(\Rightarrow a+b+c=2\)

Ta lại có bđt tam giác

\(a< b+c\Leftrightarrow2a< a+b+c\Leftrightarrow2a< 2\Leftrightarrow a< 1\)

Tương tự: b<1,c<1

Vậy \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)>0\Leftrightarrow\left(1-a-b+ab\right)\left(1-c\right)>0\Leftrightarrow1-c-a+ac-b+bc+ab-abc>0\Leftrightarrow1-\left(a+b+c\right)+ab+ac+bc>abc\Leftrightarrow-1+ab+ac+bc>abc\Leftrightarrow-2+2ab+2ac+2bc>2abc\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< \left(a+b+c\right)^2-2\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< 2^2-2=2\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< 2\)

Vậy tam giác đó có chu vi bằng 2 thì \(a^2+b^2+c^2+2abc< 2\)

đề là j nhỉ bạn