Question

cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 2.cmr:\(a^2+b^2+c^2+2abc< 2\)

Answer 1

Ta có chu vi của tam giác đó bằng 2\(\Rightarrow a+b+c=2\)

Ta lại có bđt tam giác

\(a< b+c\Leftrightarrow2a< a+b+c\Leftrightarrow2a< 2\Leftrightarrow a< 1\)

Tương tự: b<1,c<1

Vậy \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)>0\Leftrightarrow\left(1-a-b+ab\right)\left(1-c\right)>0\Leftrightarrow1-c-a+ac-b+bc+ab-abc>0\Leftrightarrow1-\left(a+b+c\right)+ab+ac+bc>abc\Leftrightarrow-1+ab+ac+bc>abc\Leftrightarrow-2+2ab+2ac+2bc>2abc\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< \left(a+b+c\right)^2-2\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< 2^2-2=2\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< 2\)

Vậy tam giác đó có chu vi bằng 2 thì \(a^2+b^2+c^2+2abc< 2\)