Giải:
\(S=a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd\)
\(\Leftrightarrow S=a^2+b^2+c^2+d^2-2ac+ac+2bd-bd\)
\(\Leftrightarrow S=a^2-2ac+c^2+b^2+2bd+d^2+ac-bd\)
\(\Leftrightarrow S=\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2+2bd+d^2\right)-\left(ac-bd\right)\)
\(\Leftrightarrow S=\left(a-c\right)^2+\left(b+d\right)^2-1\)
\(\Leftrightarrow S\ge-1\)
\(\Leftrightarrow S\ge\sqrt{3}\left(\sqrt{3}>1\right)\)
Vậy ...
Cho a , b , c , d > 0 . Cmr
\(\Sigma\dfrac{a^3}{b+c+d}\ge\dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2}{3}\)
Bài 1: phân tích thành nhân tử:
A= \(x-2\sqrt{3x}+3\) (x ≥ 0)
B= \(x+2\sqrt{x}-3\) (x ≥ 0)
C= \(x\sqrt{x}-1\) (x ≥ 0)
D= \(2x-3\sqrt{xy}-5y\) (x ≥ 0, y ≥ 0)
Bài 2: cho \(x+\sqrt{1+x^2}=\sqrt{1+y^2}-y\)
Tính x+y.
Bài 4: tìm giá trị lớn nhất :
A= \(\sqrt{x+1}+\sqrt{5-x}\)
Bài 1:
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 7x2+13y2=1820.
b) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các ước nguyên tố của p4 là một số chính
phương.
Bài 2:
a) Cho S=a2+b2+c2+d2+ac+bd, trong đó ad – bc = 1
1. Chứng minh S ≥ √3
2. Tính giá trị của tổng (a+c)2+(b+d)2, khi biết S = √3.
b) Giải hệ phương trình với các ẩn x, y, z sau đây:
xyay+bx=yzbz+cy=zxcx+az=x2+y2+z2a2+b2+c2 (trong đó a, b, c là các số cho trước).
Bài 3: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c thỏa mãn a > b > c, và O là điểm bất kì nằm trong tam giác đó. Các đướng thẳng AO, BO, CO thứ tự cắt các cạnh của tam giác tại P, Q, R.
Chứng minh rằng OP + OQ + OR < a.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở C và có Aˆ<Bˆ. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Cho biết tam giác BIO là một tam giác vuông. Tìm tỉ số giữa các cạnh của tam giác ABC.
Cho a \(\ge\) 0, b \(\ge\) 0, c \(\ge\) 0. Chứng minh rằng:
a) \(\dfrac{a+b}{2}\) \(\ge\) \(\sqrt{ab}\) (bất đẳng thức Cô-si) ;
b) a + b + c \(\ge\) \(\sqrt{ab}\) + \(\sqrt{bc}\) + \(\sqrt{ca}\) ;
c) a + b + \(\dfrac{1}{2}\) \(\ge\) \(\sqrt{a}\) + \(\sqrt{b}\) ;
cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le3\) . Cmr
\(\dfrac{a}{1+a^2}+\dfrac{b}{1+b^2}+\dfrac{c}{1+c^2}+\dfrac{ab+ac+bc}{2}\ge3\)
B1: Rút gọn
a) \(\sqrt{(3-a)^2.a^4}\)với a ≥3
b) \(\sqrt{27.48.(1-a)^2}\)với a>1
c) \(\sqrt{\frac{2a}{3}}.\sqrt{\frac{3x}{8}}\)với a≥0
d) \(\sqrt{13a}.\sqrt{\frac{52}{x}}với\:a\:>0\)
Mn giúp mình với ạ
So sánh
a,\(\sqrt{11}+\sqrt{14}\) với \(2\sqrt{12}\)
b,\(A=\sqrt{a+1}+\sqrt{a+3}\) với \(B=2\sqrt{a+2}\)
c,\(\sqrt{2020}-\sqrt{2018}\)
d,\(\sqrt{2015}-\sqrt{2013}\)
Cho a,b,c > 0. Chứng minh:
a, a + b \(\ge2\sqrt{ab}\)
b, \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{1}{\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{ac}\)
cho a,b,c,d\(\ge0\) thỏa \(a\ge c+d\), \(b\ge c+d\)
cm:\(ab\ge ad+bc\)
