Bài 3: Hình thang cân

a: Sửa đề: biết AD=AB

ABCD là hình thang cân

=>AD=BC(hai cạnh bên)

mà AD=AB

nên AB=BC

b: ΔABD cân tại A

=>\(\widehat{ADB}=\widehat{ABD}\)

mà \(\widehat{ABD}=\widehat{BDC}\)

nên \(\widehat{ADB}=\widehat{BDC}\)

=>DB là phân giác \(\widehat{ADC}\)

a: Xét tứ giác BCOM có OM//BC

nên BCOM là hình thang

Xét tứ giác BCNO có NO//BC

=>BCNO là hình thang

b: MO//BC

=>góc MON=góc OBC

=>góc MON=góc MBO

=>MO=MB

NO//BC

=>góc NOC=góc OCB

=>góc NOC=góc NCO

=>NO=NC

MN=MO+NO

=MB+NC

a) Chứng minh rằng các tứ giác BDME, CFME, ADMF là các hình thang cân:

Trước hết, chúng ta có thể thấy rằng tam giác ABC là một tam giác đều, do đó góc ABC, BCA và CAB đều bằng 60 độ.

Vì M là một điểm nằm bên trong tam giác đều ABC, nên góc AME, CME và BME bằng nhau và bằng 120 độ (tổng của góc của tam giác đều là 180 độ).

Giờ ta chứng minh từng tứ giác cụ thể:

Tứ giác BDME: Góc AME = 120 độ (như đã nói ở trên) Góc AMB = Góc CMB = 60 độ (vì tam giác đều ABC) Vậy, tứ giác BDME là tứ giác cân, vì có hai góc đối diện bằng nhau (120 độ).

Tứ giác CFME: Tương tự, góc CME = 120 độ (như đã nói ở trên) Góc CMA = Góc BMA = 60 độ (vì tam giác đều ABC) Tứ giác CFME cũng là tứ giác cân, vì có hai góc đối diện bằng nhau (120 độ).

Tứ giác ADMF: Góc AMF = 120 độ (như đã nói ở trên) Góc AMB = Góc CMB = 60 độ (vì tam giác đều ABC) Tứ giác ADMF cũng là tứ giác cân, vì có hai góc đối diện bằng nhau (120 độ).

b) Chu vi tam giác DEF bằng tổng các khoảng cách từ M đến các đỉnh của tam giác ABC:

Chúng ta biết rằng hai đường thẳng EF và BC là song song, vì chúng đều song song với hai cạnh của tam giác ABC. Do đó, theo tính chất của đường song song, tỉ số độ dài các đoạn thẳng tương tự trên hai đường thẳng là như nhau.

Tức là tỉ số DE/BD = EF/BC và tỉ số DF/FC = EF/BC.

Do đó, DE = (EF/BC) * BD và DF = (EF/BC) * FC.

Vậy chu vi tam giác DEF là:

DE + EF + FD = (EF/BC) * (BD + BC + FC).

Nhưng BD + BC + FC chính là chu vi tam giác ABC. Vì vậy, chu vi tam giác DEF bằng tổng các khoảng cách từ M đến các đỉnh của tam giác ABC.

c) Chứng minh góc DME = góc DMF = góc EMF:

Góc AME = 120 độ (như đã nói ở trên) Góc AMB = Góc CMB = 60 độ (vì tam giác đều ABC) Do đó, góc AME - Góc AMB = 120 độ - 60 độ = 60 độ.

Nhưng góc DME chính là góc AME - góc AMB (do góc DME nằm giữa AME và AMB).

Tương tự, góc DMF = góc EMF - góc EMF (do góc DMF nằm giữa EMF và EMF).

Nhưng đã chứng minh rằng góc AME - Góc AMB = 60 độ, nên góc DME = góc DMF = góc EMF = 60 độ.

a: MD//BC

=>góc ADM=góc ABC=60 độ

Xét tứ giác FMDA có

FM//AD

góc A=góc MDA

=>FMDA là hình thang cân

ME//AC

=>góc BEM=góc BCA=60 độ

Xét tứ giác BDME có

MD//BE

góc B=góc MEB

=>BDME là hình thang cân

MF//AB

=>góc CFM=góc CAB=60 độ

Xét tứ giác EMFC có

EM//FC
góc C=góc MFC

=>EMFC là hình thang cân

b: BDME là hình thang cân

=>BM=DE

ADMF là hình thang cân

=>MA=DF

EMFC là hình thang cân

=>EF=MC

=>C DEF=DE+EF+DF=BM+MA+MC

c: DMEB là hình thang cân

=>góc DME=180 độ-60 đọ=120 độ

EMFC là hình thang cân

=>góc FME=180-60=120 độ

ADMF là hình thang cân

=>góc DMF=180-60=120 độ

=>góc DMF=góc FME=góc EMD

Xét ΔAEB vuông tại E và ΔADC vuông tại D có

AB=AC

góc EAB chung

Do đó: ΔAEB=ΔADC

=>AE=AD

Xét ΔABC có AD/AB=AE/AC

nên DE//BC
Xét tứ giác BDEC có

DE//BC

góc DBC=góc ECB

Do đó: BDEC là hình thang cân

 Do ∆ABC cân tại A (gt)

⇒ AB = AC

Xét hai tam giác vuông: ∆ABE và ∆ACD có:

AB = AC (cmt)

∠A chung

⇒ ∆ABE = ∆ACD (cạnh huyền-góc nhọn)

⇒ AE = AD (hai cạnh tương ứng)

∆ADE có AD = AE (cmt)

⇒ ∆ADE cân tại A

⇒ ∠ADE = (180⁰ - ∠A) : 2

Do ∆ABC cân tại A

⇒ ∠ABC = (180⁰ - ∠A) : 2

⇒ ∠ADE = ∠ABC

Mà ∠ADE và ∠ABC là hai góc đồng vị

⇒ BC // DE

Do ∆ABC cân tại A

⇒ ∠ABC = ∠ACB

⇒ ∠DBC = ∠ECB

Tứ giác BDEC có:

BC // DE (cmt)

⇒ BDEC là hình thang

Mà ∠DBC = ∠ECB (cmt)

⇒ BDEC là hình thang cân

Xét ΔABE vuông tại E và ΔACD vuông tại D có

AB=AC

góc BAE chung

Do đó: ΔABE=ΔACD

=>AE=AD

Xét ΔABC có AD/AB=AE/AC

nên DE//BC

Xét tứ giác BDEC có

DE//BC

góc DBC=góc ECB

Do đó: BDEC  là hình thang cân

a) Xét hình thang ABCD ta có:

\(AB//CD\) (hai đáy của hình thang) (1)

\(AB=CD\left(gt\right)\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

ABCD là hình bình hành

\(\Rightarrow AD=BC\) 

\(\Rightarrow AD//BC\)

 b) Xét hình thang ABCD có:

\(AD//BC\left(gt\right)\) (1)

\(AB//CD\) (hai đáy của hình thang) (2)

Từ (1) và (2) suy ra

ABCD là hình bình hành

\(\Rightarrow AD=BC\)

\(\Rightarrow AB=CD\)

a: Xét tứ giác ABCD có

AB//CD

AB=DC

Do đó: ABCD là hình bình hành

=>AD//BC và AD=BC

b: Xét tứ giác ABCD có

AB//CD

AD//BC

Do đó: ABCD là hình bình hành

=>AB=CD và AD=BC

 a) Do ABCD là hình thang cân

⇒ AD = BC (hai cạnh bên)

∠ADC = ∠BCD (hai góc kề đáy CD)

Xét ∆ADC và ∆BCD có:

AD = BC (cmt)

∠ADC = ∠BCD (cmt)

CD chung

⇒ ∆ADC = ∆BCD (c-g-c)

⇒ ∠ACD = ∠BDC (hai góc tương ứng)

b) Do MN // AB // CD

⇒ ON // AB // CD

Do CD // ON (cmt)

⇒ ∠ACD = ∠NOC (so le trong)

Do CD // AB (gt)

⇒ ∠BDC = ∠ABD (so le trong)

Do AB // ON (cmt)

⇒ ∠ABD = ∠BON (so le trong)

c) Do ∠ACD = ∠NOC (cmt)

∠ACD = ∠BDC (cmt)

⇒ ∠NOC = ∠BDC

Mà ∠BDC = ∠ABD (cmt)

⇒ ∠NOC = ∠ABD

Lại có ∠ABD = ∠BON (cmt)

⇒ ∠NOC = ∠BON

Vậy ON là tia phân giác của ∠BOC

 Do AB // CD (gt)

⇒ ∠ABD = ∠CDB (so le trong)

Xét ∆ABD và ∆CDB có:

AB = CD (gt)

∠ABD = ∠CDB (cmt)

BD chung

⇒ ∆ABD = ∆CDB (c-g-c)

⇒ AD = BC (hai cạnh tương ứng)

Do ∆ABD = ∆CDB (cmt)

⇒ ∠ADB = ∠CBD (hai góc tương ứng)

Mà ∠ADB và ∠CBD là hai góc so le trong

⇒ AD // BC