Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

- Gọi vận tốc ô tô đi từ A và từ B lần lượt là x, y .

- Quãng đường xe từ A đi được sau 2h là : 2x ( km )

- Quãng đường xe đi từ B đi được sau 2h so với A là : 2y + 60 (km)

- Theo bài ra sau 2 h 2 xe đuổi kịp nhau nên ta được :

\(2x=2y+60\left(I\right)\)

Lại có : Nếu ô tô đi từ A tăng 10 km/h thì gấp đôi vận tốc xe đi từ B

=> \(x+10=2y\left(II\right)\)

- Giải PT ( I ) và ( II ) ta được : \(\left\{{}\begin{matrix}x=70\\y=40\end{matrix}\right.\) ( Km/h )

Vậy ....

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(3x+2\right)\left(2y-3\right)=6xy\\\left(4x+5\right)\left(y-5\right)=4xy\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}6xy-9x+4y-6=6xy\\4xy-20x+5y-25=4xy\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}-9x+4y=6\\-20x+5y=25\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{45}{4}x+5y=\dfrac{15}{2}\\-20x+5y=25\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{45}{5}x+5y=\dfrac{15}{2}\\\dfrac{35}{4}x=\dfrac{35}{2}\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=3\end{matrix}\right.\)

Vậy HPT có nghiệm (x;y) = (2;3)

a) Thay m=1 vào hệ phương trình, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=2\\2x+3y=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+4y=4\\2x+3y=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=5\\x+2y=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=5\\x+10=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-8\\y=5\end{matrix}\right.\)

Vậy: Khi m=1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x,y)=(-8;5)

b) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=m+1\\2x+3y=m-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+4y=2m+2\\2x+3y=m-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=m+4\\x+2\cdot\left(m+4\right)=m+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2m+8=m+1\\y=m+4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-m-7\\y=m+4\end{matrix}\right.\)

Để hệ phương trình có nghiệm (x,y) thỏa mãn x>3 và y<5 thì \(\left\{{}\begin{matrix}-m-7>3\\m+4< 5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-m>10\\m< 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< -10\\m< 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< -10\)

Vậy: Để hệ phương trình có nghiệm (x,y) thỏa mãn x>3 và y<5 thì m<-10

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$P^2=(2\sin a+3\cos a)^2\leq (2^2+3^2)(\sin ^2a+\cos ^2a)=13$

$\Rightarrow P\leq \sqrt{13}$

Vậy $P_{\max}=\sqrt{13}$

Giá trị này đạt tại $\frac{\sin a}{2}=\frac{\cos a}{3}$

a \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x^2-3xy+x=1-y\left(1\right)\\x^2+y^2=1\left(2\right)\end{matrix}\right.\) Từ  (1) \(\Rightarrow6x^2-3xy+x-1+y=0\)

\(\Leftrightarrow\left(6x^2+x-1\right)-\left(3xy-y\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left(6x^2+3x-2x-1\right)+y\left(3x-1\right)=0\) 

\(\Leftrightarrow\left(3x-1\right)\left(2x+1\right)+y\left(3x-1\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left(3x-1\right)\left(2x+1+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x-1=0\\2x+y=-1\end{matrix}\right.\) 

*Nếu 3x-1=0⇔x=\(\dfrac{1}{3}\) Thay vào (2) ta được:

\(\dfrac{1}{9}+y^2=1\Leftrightarrow y^2=\dfrac{8}{9}\Leftrightarrow y=\dfrac{\pm2\sqrt{2}}{3}\)

*Nếu 2x+y=-1\(\Leftrightarrow y=-1-2x\) Thay vào (2) ta được :

\(\Rightarrow x^2+\left(-2x-1\right)^2=1\Leftrightarrow x^2+4x^2+4x+1=1\Leftrightarrow5x^2+4x=0\Leftrightarrow x\left(5x+4\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\dfrac{-4}{5}\end{matrix}\right.\)

.Nếu x=0⇒y=0

.Nếu x=\(\dfrac{-4}{5}\) \(\Rightarrow y=-1+\dfrac{4}{5}=-\dfrac{1}{5}\) Vậy...

Câu b)

\(\left\{{}\begin{matrix}2x^2-2x+xy-y=0\\x^2-3xy+4=0\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}2x\left(x-1\right)+y\left(x-1\right)\\x^2-3xy+4=0\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(2x+y\right)=0\\x^2-3xy+4=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Để (x-1)(2x+y) = 0 thì: \(\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\2x+y=0\end{matrix}\right.\)⇔\(\left[{}\begin{matrix}x=1\\2x+y=0\end{matrix}\right.\)

Thay x=1 vào PT (2) ta có:

(2) ⇔1²-3.1.y+4=0

⇔1-3y +4=0

⇔-3y+5=0

⇔y=\(\dfrac{5}{3}\)

Vậy HPT có nghiệm (x:y) = (1;\(\dfrac{5}{3}\))

b\(\left\{{}\begin{matrix}2x^2-2x+xy-y=0\left(1\right)\\x^2-3xy+4=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)  

Từ (1) \(\Rightarrow2x\left(x-1\right)+y\left(x-1\right)=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(2x+y\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\2x+y=0\end{matrix}\right.\)

*Nếu x-1=0⇔x=1 Thay vào (2) ta được: \(1-3y+4=0\Leftrightarrow3y=5\Leftrightarrow y=\dfrac{5}{3}\)

*Nếu 2x+y=0\(\Leftrightarrow y=-2x\) Thay vào (2) ta được:

\(\Rightarrow x^2+6x^2+4=0\Leftrightarrow7x^2=-4\) Vô lí ⇒ Trường hợp này ko có x,y (L)

Vậy...

Gọi số vé trẻ em bán ra là x vé ( x > 0, x ϵ N )

Gọi số vé bán cho người lớn là y vé ( y > 0, y ϵ N)

 Số tiền bán vé cho trẻ em là : 50000.x đồng

Số tiền bán vé cho người lớn là : 90000.y đồng

Vì số vé trẻ em bán ra gấp 5 lần số vé của người lớn nên ta có phương trình : x/y = 5 (1) 

Tổng tiền vé là 60180000 nên ta có phương trình : 50000.x + 90000.y = 60180000 ( 2 )

Từ 1 và 2 ta có hệ :  \(\left\{{}\begin{matrix}\\\end{matrix}\right.\)x/y =5

                                    \(\left\{{}\begin{matrix}\\\end{matrix}\right.\)50000x +90000y = 60180000

  Giải hệ ta được \(\left\{{}\begin{matrix}\\\end{matrix}\right.\)y= 117 ( tm)

                              \(\left\{{}\begin{matrix}\\\end{matrix}\right.\)x= 585 (tm)

Vậy vé trẻ em là 585 vé và vé người lớn là 117 vé

\(\left\{{}\begin{matrix}x+\sqrt{5}y=\sqrt{5}\\\sqrt{15}x-\sqrt{5}y=\sqrt{15}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+\sqrt{5}y=\sqrt{5}\\\left(\sqrt{15}+1\right)x=\sqrt{15}+\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{15}+\sqrt{5}}{\sqrt{15}+1}\\y=\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{\sqrt{15}+1}\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(y+3\right)=xy+27\\\left(x-2\right)\left(y+1\right)-xy=8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy+3x-y-3=xy+27\\xy+x-2y-2-xy=8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x-y=30\\x-2y=10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3x-30\\x-2y=10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3x-30\\x-2\left(3x-30\right)=10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3x-30\\x-6x+60=10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3x-30\\-5x=-50\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3.10-30\\x=10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x=10\end{matrix}\right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: \(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x=10\end{matrix}\right.\)