Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Luyện tập

1. Khái niệm về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:

\(\left\{{}\begin{matrix}ax+by=c\\a'x+b'y=c'\end{matrix}\right.\qquad\left(I\right)\)

trong đó: \(ax+by=c\) và \(a'x+b'y=c'\) là các phương trình bậc nhất hai ẩn.

- Chú ý: Do \(ax+by=c\) và \(a'x+b'y=c'\) là các phương trình bậc nhất hai ẩn nên \(a\) và \(b\) không đồng thời bằng 0; \(a'\) và \(b'\) không đồng thời bằng 0.

Ví dụ: \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y=1\\x+3y=-2\end{matrix}\right.\), \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2}x-3y=\dfrac{4}{3}\\0y+\dfrac{5}{2}y=5\end{matrix}\right.\), \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2}x+\sqrt{3}y=1\\\dfrac{1}{\sqrt{2}}x+0y=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\) là các hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

- Nếu hai phương trình \(ax+by=c\) và \(a'x+b'y=c'\) có nghiệm chung là \(\left(x_0;y_0\right)\) thì ta nói \(\left(x_0;y_0\right)\) là một nghiệm của hệ phương trình \(\left(I\right)\).

Ví dụ: Cặp số \(\left(2;-1\right)\) vừa là nghiệm của phương trình \(2x+y=3\), vừa là nghiệm của phương trình \(x-2y=4\), nên cặp số \(\left(2;-1\right)\) là một nghiệm của hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}2x+y=3\\x-2y=4\end{matrix}\right.\).

- Nếu hai phương trình \(ax+by=c\) và \(a'x+b'y=c'\) không có nghiệm chung thì ta nói hệ phương trình \(\left(I\right)\) vô nghiệm.

- Giải hệ phương trình chính là đi tìm tất cả các nghiệm (tập nghiệm) của nó.

2. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

- Ở bài trước ta đã biết: Nếu điểm \(M\left(x_0;y_0\right)\) là một điểm thuộc đường thẳng \(ax+by=c\) thì \(\left(x_0;y_0\right)\) là một nghiệm của phương trình \(ax+by=c\).

Từ đó ta suy ra: Trên mặt phẳng tọa độ, nếu gọi \(\left(d\right)\) là đường thẳng \(ax+by=c\) và \(\left(d'\right)\) là đường thẳng \(a'x+b'y=c'\) thì điểm chung (nếu có) của hai đường thẳng ấy là nghiệm chung của hai của hai phương trình của \(\left(I\right)\). Do đó:

Tập nghiệm của hệ phương trình \(\left(I\right)\) được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của \(\left(d\right)\) và \(\left(d'\right)\).

- Ta có thể biết số nghiệm của hệ phương trình \(\left(I\right)\) bằng cách xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \(\left(d\right):ax+by=c\) và \(\left(d'\right):a'x+b'y=c'\)

+) Nếu \(\left(d\right)\) và \(\left(d'\right)\) cắt nhau thì hệ phương trình \(\left(I\right)\) có một nghiệm duy nhất.

Ví dụ: Xét hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=3\\x-2y=0\end{matrix}\right.\)

Gọi \(\left(d_1\right)\) là đường thẳng \(x+y=3\), \(\left(d_2\right)\) là đường thẳng \(x-2y=0\). 

Vẽ hai đường thẳng \(\left(d_1\right)\) và \(\left(d_2\right)\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ, ta thấy chúng cắt nhau tại duy nhất điểm \(M\left(2;1\right)\). (Thử lại ta thấy \(\left(2;1\right)\) là một nghiệm của hệ).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(2;1\right)\).

+) Nếu \(\left(d\right)\) và \(\left(d'\right)\) song song thì hệ phương trình \(\left(I\right)\) vô nghiệm.

Ví dụ: Xét hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}3x-2y=-6\\3x-2y=3\end{matrix}\right.\)

Do \(3x-2y=-6\Leftrightarrow y=\dfrac{3}{2}x+3\) nên tập nghiệm của phương trình thứ nhất được biểu diễn bởi đường thẳng \(\left(d_1\right):y=\dfrac{3}{2}x+3\).

Tương tự ta cũng có: tập nghiệm của phương trình thứ hai được biểu diễn bởi đường thẳng \(\left(d_2\right):y=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}\).

Hai đường thẳng này có cùng hệ số góc và có tung độ gốc khác nhau nên chúng song song với nhau.

Vậy hệ phương trình trên vô nghiệm.

+) Nếu \(\left(d\right)\) và \(\left(d'\right)\) trùng nhau thì hệ phương trình \(\left(I\right)\) có vô số nghiệm.

Ví dụ: Xét hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y=3\\-2x+y=-3\end{matrix}\right.\) 

Do cả hai phương trình của hệ đều được biểu diễn bởi đường thẳng \(\left(d\right):y=2x-3\) nên hệ phương trình trên vô số nghiệm.

3. Hệ phương trình tương đương

Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có chung tập nghiệm.

- Muốn biến đổi tương đương một hệ phương trình, ta dùng các phép biến đổi tương đương cho các phương trình của hệ (chuyển vế, cộng 2 vế của một phương trình với một hằng số, nhân 2 vế của một phương trình với một hằng số khác 0, cộng (trừ) 2 vế của hệ phương trình ...).

Ví dụ: \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y=1\\x-2y=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-y=1\\3x-3y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-y=1\\x-y=0\end{matrix}\right.\)