Chương IV - Hàm số y = ax^2 (a khác 0). Phương trình bậc hai một ẩn

Lời giải:

a)

-) Nếu \(m^2-5>0\)

\(\left\{\begin{matrix} m^2-5>0\\ x^2\geq 0\end{matrix}\right.\Rightarrow y\geq 0\). Tức là cực tiểu của hàm số là \(y=0\)

-) Nếu \(m^2-5=0\Rightarrow y=0\) là hằng số, hàm không có cực tiểu.

-) Nếu \(m^2-5< 0\)

\(\left\{\begin{matrix} m^2-5< 0\\ x^2\geq 0\end{matrix}\right.\Rightarrow y\leq 0\). Hàm số có cực đại y=0 chứ không có cực tiểu

Vậy \(m^2-5> 0\Leftrightarrow m> \sqrt{5}\) hoặc \(m< -\sqrt{5}\)

b) \(A\in (y)\Leftrightarrow 11=(m^2-5)(-1)^2\)

\(\Leftrightarrow m^2-5=11\Leftrightarrow m^2=16\)

\(\Leftrightarrow m=\pm 4\)

c) Để \(B(1;4)\not \in (y)\)

\(\Leftrightarrow 4\neq (m^2-5).1\)

\(\Leftrightarrow 4\neq m^2-5\Leftrightarrow m^2\neq 9\Leftrightarrow m\neq \pm 3\)

Lời giải:

Điều kiện để pt có nghiệm:

\(\Delta=(2m+1)^2-8(-m-1)\geq 0\Leftrightarrow (2m+3)^2\geq 0\)

(luôn đúng với mọi m)

Với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình đã cho. Áp dụng hệ thức Viete ta có:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{2m+1}{2}\\ x_1x_2=\frac{-(m+1)}{2}\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\((x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2\)

\(=\left(\frac{2m+1}{2}\right)^2+2(m+1)=\frac{4m^2+12m+9}{4}\)

Ta có:

\(4m^2+12m+9=(2m+3)^2\geq 0\)

\(\Rightarrow (x_1-x_2)^2\geq 0\)

Vậy \((x_1-x_2)^2_{\min}=0\Leftrightarrow m=\frac{-3}{2}\)

a,dk x>0

\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{\left(\sqrt{2x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}\right)\left(\sqrt{2x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}\right)}{\sqrt{2x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}}=3x\)

\(\Leftrightarrow x\left(\dfrac{x+2}{\sqrt{2x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}}-3\right)=0\)

\(\Rightarrow\dfrac{x+2}{\sqrt{2x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}}=3\)

\(\Rightarrow\sqrt{2x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}=\dfrac{x+2}{3}\)

kh vs dé bài ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}=3x\\\sqrt{2x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}=\dfrac{x+2}{3}\end{matrix}\right.\)

cộng vs nhau ta có

\(2\sqrt{2x^2+x+1}=3x+\dfrac{x+2}{2}\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt{2x^2+x+1}=5x+1\)

giải ra ta có x=1(tm) x=-8/7 (l)

b, dk tu xd nhé

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}\right)\left(\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}\right)}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}-2x=0\)

\(\Leftrightarrow2x\left(\dfrac{1}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}=1\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

ns \(\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}>1\)

\(\Rightarrow x=0\left(tm\right)\)

b: Thay y=2x vào y=3x-2, ta được;

3x-2=2x

=>x=2

=>y=4

b) Ta có pt:

\(x-2=2x+1\)

\(\Leftrightarrow x=-3\Rightarrow y=-5.\)

Vậy E(-3;-5).

c)Thay x=-3,y=-5 vào hs y=(m-2)x+m, ta được:

\(\left(m-2\right).\left(-3\right)+m=-5\)

\(\Leftrightarrow-2m+6=-5\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{-11}{2}.\)

a:Để hàm số đồng biến thì m-1>0

hay m>1

b: thay x=1 và y=4 vào (d), ta được:

m-1+2=4

=>m+1=4

hay m=3

c: Để hai đường song song thì m-1=3

hay m=4

Theo đề, ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(0\right)=1\\f\left(1\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\cdot0+b=1\\a\cdot1+b=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=1\\a=-1\end{matrix}\right.\)

a: \(\text{Δ}=\left(-3\right)^2-4\left(1-m^2\right)\)

\(=9-4+4m^2=4m^2+5>0\)

Do đó; Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b: \(\text{Δ}=3^2-4\cdot\left(-2\right)\cdot\left(m^2-1\right)\)

\(=9+8m^2-8=8m^2+1>0\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

c: \(\text{Δ}=\left(m+3\right)^2-4\left(m+1\right)\)

\(=m^2+6m+9-4m-4\)

\(=m^2+2m+5=\left(m+1\right)^2+4>0\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

\(2x^2-2x+m^2-2\)

\(\Delta=4m^2-4.2\left(m^2-2\right)=4m^2-8m^2+16=16-4m^2\)

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{16-4m^2}\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2m+\sqrt{16-4m^2}}{4}\\x_2=\dfrac{2m-\sqrt{16-4m^2}}{4}\end{matrix}\right.\)

Ta có \(A=\left|2x_1x_2-x_1-x_2-4\right|\)

\(=\left|2\dfrac{2m+\sqrt{16-4m^2}}{4}\dfrac{2m-\sqrt{16-4m^2}}{4}-\dfrac{2m+\sqrt{16-4m}}{4}-\dfrac{2m-\sqrt{16-4m}}{4}-4\right|\)

\(=\left|\dfrac{4m^2-\left(16-4m^2\right)-8m-2\sqrt{16-4m^2}-8m+2\sqrt{16-4m^2}-32}{8}\right|\)

\(=\left|\dfrac{8m^2-16m-32}{8}\right|\)

\(\left|\dfrac{\left(m-1-\sqrt{5}\right)\left(m-1+\sqrt{5}\right)}{8}\right|\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi :\(m=1+\sqrt{5}\) hoặc \(m=1-\sqrt{5}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}2x^2+xy-y^2-5x+y+2=0\left(1\right)\\x^3+y^2+x+y-4=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(2x^2+2xy-4x\right)+\left(-xy-y^2+2y\right)+\left(-x-y+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left(2x-y-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2-x\left(3\right)\\y=2x-1\left(4\right)\end{matrix}\right.\)

Thế (3) vào (2) ta được:

\(x^3+\left(2-x\right)^2+x+\left(2-x\right)-4=0\)

\(\Leftrightarrow x^3+x^2-4x+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+2x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=\sqrt{3}-1\\x=-\sqrt{3}-1\end{matrix}\right.\)

Tương tự cho trường hợp còn lại.

\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow\left(2x-y-1\right)\left(x+y-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-y-1=0\\x+y-2=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2x-1\\y=2-x\end{matrix}\right.\)

*)Xét \(y=2x-1\) thì

\(pt\left(2\right)\Leftrightarrow x^3+\left(2x-1\right)^2+x+\left(2x-1\right)-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+4\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+4=0\\x-1=0\\x+1=0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-4\\x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\)

*)Xét \(y=2-x\) thì:

\(pt\left(2\right)\Leftrightarrow x^3+\left(2-x\right)^2+x+\left(2-x\right)-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+2x-2\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x^2+2x-2=0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=\dfrac{-2\pm\sqrt{12}}{2}\end{matrix}\right.\)

\(y^2-\left(x+1\right)y-2x^2+5x+2=0\Leftrightarrow\left(y+x-2+1\right)=0.\)Do đó hệ đã cho tương đương với:

\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x+y-2=0\\x^2+y^2+x+y-4=0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}y-2x+1=0\\x^2+y^2+x+y-4=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{4}{5}\\y=-\dfrac{13}{5}.\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)