Chương II - Hàm số bậc nhất

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM và kết hợp giả thiết, ta có:

\(\dfrac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\dfrac{bc}{\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}}=\dfrac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{bc}{a+c}\right)\)

Tương tự ta được:

\(\dfrac{ac}{\sqrt{b+ac}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ac}{b+a}+\dfrac{ac}{b+c}\right)\)

\(\dfrac{ab}{\sqrt{c+ab}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab}{c+a}+\dfrac{ab}{c+b}\right)\)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được:

\(\sum\dfrac{bc}{\sqrt{a}+bc}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{bc}{a+c}+\dfrac{ca}{b+a}+\dfrac{ca}{b+c}\right)-\dfrac{1}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

\(2=a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow a+b\le2\)

\(\left(a^3+b^3\right)\left(a+b\right)\ge\left(a^2+b^2\right)^2=4\)

\(a^3+b^3\ge\dfrac{4}{a+b}\ge\dfrac{4}{2}=2\)

\(a^3+a\ge2a^2\);\(b^3+b\ge2b^2\)

\(a^3+b^3\ge2\left(a^2+b^2\right)-\left(a+b\right)\ge4-\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}=4-2=2\)

các bạn hãy áp dụng bất đẳng thức Cô-si

\(2\left(x+y\right)=xy+2\)

\(\Leftrightarrow2x+2y-xy-2=0\)

\(\Leftrightarrow2x+2y-xy-4=-2\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-xy\right)+\left(2y-4\right)=-2\)

\(\Leftrightarrow x\left(2-y\right)-2\left(2-y\right)=-2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(2-y\right)=-2\)

Suy ra ta có các hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x-2=1\\2-y=-2\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x-2=-1\\2-y=2\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x-2=2\\2-y=-1\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x-2=-2\\2-y=1\end{matrix}\right.\)

Suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=4\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=0\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=3\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=1\end{matrix}\right.\)

a: Đặt a=k; b=k'

=>(d): y=(a-3)x+b

Vì (d) đi qua A(1;2) và B(3;4) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}a-3+b=2\\3\left(a-3\right)+b=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=5\\3a+b=13\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=1\\a=4\end{matrix}\right.\)

b: (d): y=(a-3)x+b

Theo đề, ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}b=1-\sqrt{2}\\\left(a-3\right)\cdot\left(1+\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=1-\sqrt{2}\\a=6-2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

d: y-2x-1=0

nên y=2x+1(d1)

(d): y=(a-3)x+b

Để (d)//(d1) thì \(\left\{{}\begin{matrix}a-3=2\\b< >1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=5\\b< >1\end{matrix}\right.\)

\(\left(d_1\right):2x+3y=1\Leftrightarrow y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{3}\)

\(\left(d_2\right):x-4y=0\Leftrightarrow y=\dfrac{1}{4}x\)

ta có pthđgđ của (d₁) và (d₂)

\(-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{4}x\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{4}{11}\)

vậy (d₁) cắt (d₂) tại \(A\left(\dfrac{4}{11};\dfrac{1}{11}\right)\)

để 2 đt đồng quy thì (d₃) phải đi qua A

\(\Rightarrow\dfrac{1}{11}=-\dfrac{4}{11}m+1\)

\(\Leftrightarrow m=2,5\)

\(\Delta\) = \(m^2-4\left(-m-1\right)\) = \(m^2+4m+4\) = \(\left(m+2\right)^2\) \(\ge0\)

phương trình có 2 nghiệm

\(\Leftrightarrow\) \(\Delta\ge0\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(m+2\right)^2\ge0\) \(\Leftrightarrow\) \(m+2\ge0\)

ta có phương trình có 2 nghiệm đều lớn hơn \(-1\)

\(\Leftrightarrow\) \(x_1+x_2>-2\) \(\Leftrightarrow\) \(-m>-2\) \(\Leftrightarrow\) \(m< 2\)

Mk cần gấp