Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Luyện tập

Lên CTV rồi ngại đặt câu hỏi à béo?

Lâu lắm r hình như chưa sd nick cùi bắp này lần nào nhỉ?

Xì, bị gọi là béo tự ái chứ j? Cho xóa thoải mái, mỏi tay đêy.

-_- Lúc này , mỗi 1 tbáo là 1 hivọng

Vậy mà 2 thôg báo r vẫn chẳg thấy câu trl đw

Nản ~~

Lời giải:

PT (1)\(\rightarrow x_1+x_2=\frac{60.3}{4}=45\)

\(\Rightarrow x_2=45-x_1\)

Thay vào pt (2)

\(\frac{60}{x_2}-\frac{60}{x_1}=2\)

\(\Leftrightarrow \frac{60}{45-x_1}-\frac{60}{x_1}=2\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{45-x_1}-\frac{1}{x_1}=\frac{1}{30}\Leftrightarrow \frac{x_1-(45-x_1)}{x_1(45-x_1)}=\frac{1}{30}\)

\(\Leftrightarrow 30(2x_1-45)=x_1(45-x_1)\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+15x_1-1350=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=30\rightarrow x_2=15\\x_1=-45\rightarrow x_2=90\end{matrix}\right.\)

(đều thỏa mãn)

Vậy \((x_1,x_2)=(30;15);(-45;90)\)

Lời giải:

Dễ thấy hệ có bộ nghiệm \((x,y)=(0;0)\)

Ta cần tìm $a$ sao cho hpt không còn nghiệm nào ngoài $(0;0)$

Trừ 2 PT cho nhau:

\(y^2-x^2=(x^3-y^3)-4(x^2-y^2)+a(x-y)\)

\(\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2)-4(x-y)(x+y)+a(x-y)+(x-y)(x+y)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2-3x-3y+a)=0\)

Ta thấy TH \(x-y=0\) đã thỏa mãn bộ nghiệm \(x=y=0\), nên để hpt không có nghiệm nào khác \((0;0)\)

thì pt \(x^2+xy+y^2-3x-3y+a=0(*)\) phải vô nghiệm hoặc có chỉ có nghiệm \(x=y=0\)

+) \((*)\) vô nghiệm:

\(\Leftrightarrow \Delta< 0\)

\(\Leftrightarrow (y-3)^2-4(y^2-3y+a)< 0\)

\(\Leftrightarrow 4a> -3y^2+6y+9\) với mọi y

\(\Leftrightarrow 4a> \max(-3y^2+6y+9)\)

\(\Leftrightarrow 4a> \max [12-3(y-1)^2]\)\(\Leftrightarrow 4a>12\Leftrightarrow a>3\)

+) \((*)\) có nghiệm \(x=y=0\Rightarrow a=0\)

\((*)\) trở thành \(x^2+xy+y^2-3(x+y)=0\)

Thay \(x=0\) vào ta thấy pt còn nghiệm \(y=3\) (không thỏa mãn tính duy nhất) (loại)

Vậy \(a>3\) thỏa mãn. (1)

--------------------------------------------

Giờ ta quay lại TH $x=y$ để kiểm tra lại

Thay vào pt đầu tiên: \(x^2=x^3-4x^2+ax\Leftrightarrow x^3-5x^2+ax=0\)

\(\Leftrightarrow x(x^2-5x+a)=0\)

Để pt có nghiệm duy nhất \(x=0\) thì $x^2-5x+a=0$ vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm là $0$

TH chỉ có nghiệm là $0$ kéo theo \(a=0\Rightarrow x^2-5x=0\) còn có nghiệm $x=5$ (vô lý)

TH vô nghiệm \(\Rightarrow \Delta=25-4a <0\Leftrightarrow a> \frac{25}{4}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(a>\frac{25}{4}\)

gợi ý thôi nha

ta rút đc xy=4y^2-2 rồi thay vào pt dưới

Nhân chéo hai phương trình ta được

\(14x^2y-7xy^2=8x^3-y^3\)

\(\Rightarrow8x^3-14x^2y+7x^2y-y^3=0\)

\(\Leftrightarrow8x^3-8x^2y-6x^2y+6xy^2+xy^2-y^3=0\)

\(\Leftrightarrow8x^2\left(x-y\right)-6xy\left(x-y\right)+y^2\left(x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(8x^2-6xy+y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(4x-y\right)\left(2x-y\right)=0\)

đến đây thì dễ rồi

a: \(\left\{{}\begin{matrix}3x-2y=1\\2x+4y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x-4y=2\\2x+4y=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}8x=5\\3x-2y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{8}\\2y=3x-1=\dfrac{15}{8}-1=\dfrac{7}{8}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{8}\\y=\dfrac{7}{16}\end{matrix}\right.\)

b: \(\left\{{}\begin{matrix}4x-3y=1\\-x+2y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x-3y=1\\-4x+8y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=1\\x=-1+2y=-1+2=1\end{matrix}\right.\)

c: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3}y=1\\\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{4}y=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+4y=3\\2x-3y=8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{41}{14}\\y=-\dfrac{5}{7}\end{matrix}\right.\)

Gọi hai số lần lượt là a, b ( a>b>,25<a<55, 0<b<55)

TĐB , ta có hệ pt:

\(\left\{{}\begin{matrix}a-b=25\\a^2-b^2=1375\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=25\\\left(a-b\right)\left(a+b\right)=1375\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=25\\a+b=55\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a=80\\a+b=55\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=40\\40+b=55\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=40\\b=15\end{matrix}\right.\)( thỏa mãn đk của ẩn)

Vậy hai số cần tìm lần lượt là 40,15

a, \(\left(I\right):\left\{{}\begin{matrix}2x+ay=b\\ax-by=1\end{matrix}\right.\)

Thay (x;y)=(1;-3) vào hpt có :

\(\left\{{}\begin{matrix}2-3a=b\\a+3b=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a+b=2\\a+3b=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}9a+3b=6\\a+3b=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}8a=5\\a+3b=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{5}{8}\\\dfrac{5}{8}+3b=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{5}{8}\\b=\dfrac{1}{8}\end{matrix}\right.\)

Vậy a=5/8 , b=1/8