Gọi tọa độ tâm đường tròn cần tìm là \(I\left(a;b\right)\)
Do (C) tiếp xúc với d nên: \(d\left(I;d\right)=R\)
\(\Rightarrow\frac{\left|3a-4b-10\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=2\) \(\Leftrightarrow\left|3a+4b-10\right|=10\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3a+4b-10=10\\3a+4b-10=-10\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=\frac{20-3a}{4}\\b=-\frac{3}{4}a\end{matrix}\right.\)
- Trường hợp 1: 2 đường tròn tiếp xúc ngoài \(\Rightarrow R+r=OI\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2+b^2}=3\Rightarrow a^2+b^2=9\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a^2+\left(5-\frac{3}{4}a\right)^2=9\left(vn\right)\\a^2+\frac{9}{16}a^2=9\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=\frac{12}{5}\Rightarrow b=-\frac{9}{5}\\a=-\frac{12}{5}\Rightarrow b=\frac{9}{5}\end{matrix}\right.\)
Có 2 pt đường tròn thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}\left(x-\frac{12}{5}\right)^2+\left(y+\frac{9}{5}\right)^2=4\\\left(x+\frac{12}{5}\right)^2+\left(y-\frac{9}{5}\right)^2=4\end{matrix}\right.\)
- Trường hợp 2: hai đường tròn tiếp xúc trong \(\Rightarrow OI=R-r=1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2+b^2}=1\Leftrightarrow a^2+b^2=1\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a^2+\left(5-\frac{3}{4}a\right)^2=1\\a^2+\frac{9}{16}a^2=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\frac{13}{4}a^2-\frac{15}{2}a+24=0\left(vn\right)\\\frac{25}{16}a^2=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=\frac{4}{5}\Rightarrow b=-\frac{3}{5}\\a=-\frac{4}{5}\Rightarrow b=\frac{3}{5}\end{matrix}\right.\)
Có 2 đường tròn thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}\left(x-\frac{4}{5}\right)^2+\left(y+\frac{3}{5}\right)^2=4\\\left(x+\frac{4}{5}\right)^2+\left(y-\frac{3}{5}\right)^2=4\end{matrix}\right.\)
