Question

Tìm x,y nguyên dương thỏa mãn: \(y=\sqrt[3]{18+\sqrt{x+100}}+\sqrt[3]{18-\sqrt{x+100}}\)

Answer 1

 \(y=\sqrt[3]{18+\sqrt{x+100}}+\sqrt[3]{18-\sqrt{x+100}}\) (Điều kiện xác định : \(x\ge-100\))

Ta có : \(36=\left(18+\sqrt{x+100}\right)+\left(18-\sqrt{x+100}\right)=\left(\sqrt[3]{18+\sqrt{x+100}}\right)^3+\left(\sqrt[3]{18-\sqrt{x+100}}\right)^3\)

Đặt \(a=\sqrt[3]{18+\sqrt{x+100}}\) ; \(b=\sqrt[3]{18-\sqrt{x+100}}\)

\(\Rightarrow a^3+b^3=36\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=36\). Vì \(a+b\in Z^+\) nên a+b \(\in\) Ư(36)

\(\Rightarrow a+b\in\left\{1;2;3;4;6;9;12;18;36\right\}\)

Giải từng trường hợp , được x = 225 , y = 3 thoả mãn đề bài.