Question

Tìm GTNN của \(\frac{x^2+2x+3}{\left(x+2\right)^2}\)

Answer 1

Đặt \(y=x+2\Rightarrow x=y-2\)

Ta có : \(\frac{x^2+2x+3}{\left(x+2\right)^2}=\frac{\left(y-2\right)^2+2\left(y-2\right)+3}{y^2}=\frac{y^2-2y+3}{y^2}=\frac{3}{y^2}-\frac{2}{y}+1\)

Lại đặt \(t=\frac{1}{y}\), \(\Rightarrow\frac{3}{y^2}-\frac{2}{y}+1=3t^2-2t+1=3\left(t-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{2}{3}\ge\frac{2}{3}\)

Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow t=\frac{1}{3}\Leftrightarrow y=3\Leftrightarrow x=1\)

Vậy biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{2}{3}\) tại x = 1