Question

tam giác có độ dài các cạnh là: \(\sqrt{a^2+b^2+2c^2},\sqrt{a^2+c^2+2b^2},\sqrt{b^2+c^2+2a^2}\)

Chứng minh rằng các góc củ tam giác này đều nhọn

Answer 1

Đặt \(x=a^2+b^2+c^2\)

Giả sử tam giác đã cho là ABC với chiều dài 3 cạnh tương ứng

\(AB=\sqrt{x+c^2}\) ; \(AC=\sqrt{x+b^2}\) ; \(BC=\sqrt{x+a^2}\)

\(cosA=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB.AC}=\frac{x+b^2+x+c^2-\left(x+a^2\right)}{2AB.AC}=\frac{b^2+c^2}{AB.AC}>0\)

\(\Rightarrow0< A< 90^0\)

Tương tự \(cosB=\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2AB.BC}=\frac{a^2+c^2}{AB.BC}>0\) \(\Rightarrow0< B< 90^0\)

\(cosC=\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2AC.BC}=\frac{a^2+b^2}{AC.BC}>0\Rightarrow0< C< 90^0\)

\(\Rightarrow\) Tam giác đã cho có 3 góc nhọn