Question

Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AD = 3a, AB = BC = 2a, SA = a. Biết rằng SA vuông góc với đáy (ABCD). Tính sin của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SCD).

Answer 1

Kéo dài AB và CD cắt nhau tại E

Trong mp (ABCD), kẻ \(AH\perp DE\)

\(\Rightarrow DE\perp\left(SAH\right)\)

Trong mp (SAH), kẻ \(AK\perp SH\)

\(AK\in\left(SAH\right)\Rightarrow DE\perp AK\Rightarrow AK\perp\left(SCD\right)\)

Nối EK, trong tam giác AEK, qua B kẻ đường thẳng song song AK cắt EK tại F

\(\Rightarrow BF\perp\left(SCD\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BSF}\) là góc giữa SB và (SCD)

\(SB=\sqrt{SA^2+AB^2}=a\sqrt{5}\)

Định lý Talet trong tam giác EAD: \(\dfrac{EB}{EA}=\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow2EA=3EB=3\left(EA-AB\right)\Rightarrow EA=3AB=6a\)

Hệ thức lượng trong tam giác vuông EAD:

\(AH=\dfrac{EA.AD}{\sqrt{EA^2+AD^2}}=\dfrac{6a\sqrt{5}}{5}\)

Hệ thức lượng trong tam giác vuông SAH:

\(AK=\dfrac{SA.AH}{\sqrt{SA^2+AH^2}}=\dfrac{6a\sqrt{41}}{41}\)

Định lý Talet trong tam giác EAK:

 \(\dfrac{BF}{AK}=\dfrac{EB}{EA}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow BF=\dfrac{2}{3}AK=\dfrac{4a\sqrt{41}}{41}\)

\(\Rightarrow sin\widehat{BSF}=\dfrac{BF}{SB}=\dfrac{4\sqrt{205}}{205}\)

Answer 2