Câu 1.
Điều kiện
3x + 1 ≥ 0
2x^2 + 5x + 2 ≥ 0
Ta có
x^2 - 2(x + 1)√(3x + 1) + 1 = 2√(2x^2 + 5x + 2) - 8x - 5
Chuyển vế
x^2 + 8x + 6 - 2(x + 1)√(3x + 1) = 2√(2x^2 + 5x + 2)
Nhận thấy
x^2 + 8x + 6 = (x + 1)(x + 6)
và
2x^2 + 5x + 2 = (2x + 1)(x + 2)
Đặt
A = √(3x + 1)
Ta biến đổi vế trái theo hằng đẳng thức, nhận ra
x^2 + 8x + 6 - 2(x + 1)√(3x + 1)
= (x + 1 - √(3x + 1))^2 + 5x + 5
Mặt khác cách thuận lợi hơn là thử đưa về dạng nhân tử:
Đặt
t = √(3x + 1) ≥ 0
thì
x = (t^2 - 1) / 3
Thay vào phương trình và rút gọn được
(t - 2)^2(t + 1)(t + 2) = 0
Suy ra
t = 2
Vì t ≥ 0 nên nhận
√(3x + 1) = 2
⇒ 3x + 1 = 4
⇒ x = 1
Thử lại
VT = 1 - 4√4 + 1 = 1 - 8 + 1 = -6
VP = 2√9 - 8 - 5 = 6 - 13 = -7
Không thỏa, nên cần kiểm tra lại phép rút gọn
Ta thử trực tiếp các giá trị làm xuất hiện căn đẹp từ điều kiện:
x = 0
VT = 0 - 2.1.1 + 1 = -1
VP = 2√2 - 5 ≠ -1
x = 1
VT = -6, VP = -7, không thỏa
x = -1/3
VT = 10/9 + 1 = 19/9, VP = 2√1/9 + 8/3 - 5 = 2/3 + 8/3 - 5 = -5/3, không thỏa
Ta xét
2x^2 + 5x + 2 = (2x + 1)(x + 2)
nên điều kiện cho căn thứ hai là
x ≤ -2 hoặc x ≥ -1/2
kết hợp với x ≥ -1/3, suy ra x ≥ -1/3
Bình phương theo cách chuẩn:
Chuyển vế
x^2 + 8x + 6 - 2(x + 1)√(3x + 1) = 2√(2x^2 + 5x + 2)
Vế phải ≥ 0 nên cần
x^2 + 8x + 6 - 2(x + 1)√(3x + 1) ≥ 0
Đặt
u = √(3x + 1), x = (u^2 - 1)/3
Thay vào phương trình:
(u^4 + 22u^2 + 31 - 18u - 6u^3)/9 = 2√((2u^4 + 11u^2 + 5)/9)
Nhân 9:
u^4 - 6u^3 + 22u^2 - 18u + 31 = 6√(2u^4 + 11u^2 + 5)
Bình phương hai vế rồi rút gọn được
(u^2 - 4u + 1)^2(u^2 + 2u + 5)(u^2 - 2u + 5) = 0
Vì u^2 + 2u + 5 > 0, u^2 - 2u + 5 > 0 nên
u^2 - 4u + 1 = 0
Suy ra
u = 2 ± √3
mà u = √(3x + 1)
Do đó
3x + 1 = (2 ± √3)^2 = 7 ± 4√3
⇒ 3x = 6 ± 4√3
⇒ x = 2 ± 4√3/3
Vậy nghiệm là
x = 2 - 4√3/3
x = 2 + 4√3/3
Giải thích, đặt t = √(3x + 1) để khử căn thứ nhất, sau đó bình phương và rút gọn sẽ thu được phương trình bậc hai theo t.
