Question

Giải bất phương trình: \(2.4^{\dfrac{1}{x}}+6^{\dfrac{1}{x}}< 9^{\dfrac{1}{x}}\)

Answer 1

Lời giải:
Đặt \(2^{\frac{1}{x}}=a; 3^{\frac{1}{x}}=b\) thì BPT trở thành:

$2a^2+ab< b^2$

$\Leftrightarrow 2a^2+ab-b^2<0$

$\Leftrightarrow (2a-b)(a+b)<0$

$\Leftrightarrow 2a-b<0$ (do $a+b>0$ với mọi $x\neq 0$)

$\Leftrightarrow 2a< b$

\(\Leftrightarrow 2^{\frac{1}{x}+1}< 3^{\frac{1}{x}}\)

\(\Leftrightarrow 1+\frac{1}{x}< \frac{1}{x}\log_2(3)\\ \Leftrightarrow 1< \frac{1}{x}(\log_23-1)\\ \Leftrightarrow \frac{1}{x}> \frac{1}{\log_23-1}\\ \Leftrightarrow x< \log_23-1\)

Vậy $x\neq 0$ và $x< \log_23-1$