Xét ΔBAC có
M,N lần lượt là trung điểm của BA,BC
=>MN là đường trung bình của ΔBAC
=>MN//AC và \(MN=\dfrac{AC}{2}\)
Xét ΔDAC có
Q,P lần lượt là trung điểm của DA,DC
=>QP là đường trung bình của ΔDAC
=>QP//AC và \(QP=\dfrac{AC}{2}\)
Ta có: MN//AC
QP//AC
Do đó: MN//PQ
Ta có: \(MN=\dfrac{AC}{2}\)
\(QP=\dfrac{AC}{2}\)
Do đó: MN=PQ
Ta có: \(AQ=QD=\dfrac{AD}{2}\)
\(BN=NC=\dfrac{BC}{2}\)
mà AD=BC
nên AQ=QD=BN=NC
Xét ΔMAQ vuông tại A và ΔMBN vuông tại B có
MA=MB
\(AQ=BN\)
Do đó: ΔMAQ=ΔMBN
=>MQ=MN
Xét tứ giác MNPQ có
MN//PQ
MN=PQ
Do đó: MNPQ là hình bình hành
Hình bình hành MNPQ có MN=MQ
nên MNPQ là hình thoi
Cách 2:
Ta có: \(AM=MB=\dfrac{AB}{2}\)
\(DP=PC=\dfrac{DC}{2}\)
mà AB=DC
nên AM=MB=DP=PC
Ta có: \(AQ=QD=\dfrac{AD}{2}\)
\(BN=NC=\dfrac{BC}{2}\)
mà AD=BC
nên AQ=QD=BN=NC
Xét ΔMAQ vuông tại A và ΔMBN vuông tại B có
MA=MB
AQ=BN
Do đó: ΔMAQ=ΔMBN
=>MQ=MN(3)
Xét ΔNBM vuông tại B và ΔNCP vuông tại C có
NB=NC
BM=CP
Do đó: ΔNBM=ΔNCP
=>NM=NP(2)
Xét ΔPCN vuông tại C và ΔPDQ vuông tại D có
PC=PD
CN=DQ
Do đó: ΔPCN=ΔPDQ
=>PQ=PN(1)
Từ (1),(2),(3) suy ra MN=NP=PQ=MQ
=>MNPQ là hình thoi
